Kezdőlap


Feladat:	Gy.2638	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csikai Szabolcs , Csörnyei Marianna , Domokos Bálint , Eipl Anikó , Hatalyák Zsuzsanna , Koroknai Péter , Kosztolányi Zsolt , Molnár-Sáska Gábor , Pete Gábor , Risbjerg Anna , Simon Gábor , Szepes Ágnes , Szeredi Tibor , Zsenei András
Füzet:	1991/április, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2638

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ismeretes, hogy ha $g ≧ 2,$ akkor a $g$ -alapú számrendszerben felírt A szám pontosan akkor osztható $(g - 1)$ -gyel, ha a "számjegyeinek'' összege ‐ természetesen $g$ alapú számrendszerbeli jegyekről van szó ‐ osztható $(g - 1)$ -gyel.
Esetünkben igen könnyen kapjuk a megadott számóriás felírását a $g = 100$ -alapú számrendszerben: az új számjegyek a tízes számrendszerbeli alak jegyeiből kaphatók hátulról kettesével olvasva le azokat; vagyis

\begin{matrix} A = a_{0} + a_{1} \cdot 100 + a_{2} \cdot 100^{2} + a_{3} \cdot 100^{3} + a_{4} \cdot 100^{4} + a_{5} \cdot 100^{5} + a_{6} \cdot 100^{6} + a_{7} \cdot 100^{7} + a_{8} \cdot 100^{8}, \end{matrix}

\begin{matrix} ahol a_{0} = 40 + y; a_{1} = 64; a_{2} = 70; a_{3} = 12; a_{4} = 98; a_{5} = 48; a_{6} = 5; a_{7} = \end{matrix}

= 64; a_{8} = 10 x + 3.

A "számjegyek'' összege

404 + 10 x + y = 4 \cdot 99 + 8 + 10 x + y,

tehát az adott szám pontosan akkor osztható 99-cel, ha

\begin{matrix} r = 8 + 10 x + y \end{matrix}

is ilyen.
Mivel

0 < x ≦ 9

és

0 ≦ y ≦ 9,

ezért

0 < 10 x + y ≦ 99,

azaz

8 < r ≦ 107.

A talált határok között csupán egy 99-cel osztható szám van, maga a 99. Így

r = 99,10 x + y = 91,

tehát ‐ a tízes számrendszerbeli alak egyértelműségéből ‐

x = 9

és

y = 1.

Mivel lépéseink megfordíthatók voltak, a fenti választással valóban 99-cel osztható számhoz jutunk.

Simon Gábor (Szolnok, Varga Katalin Gimn., II. o. t.) dolgozata nyomán

Megjegyzés. Sok megoldó két részre bontva a feltételt, külön-külön használta a tízes számrendszerben felírt számok 9-cel és 11-gyel való oszthatóságának ismert feltételeit: egy tízes számrendszerben felírt szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha a jegyeinek összege osztható, és pontosan akkor osztható 11-gyel, ha a páros, illetve a páratlan helyiértéken álló jegyeinek összege ugyanazt a maradékot adja 11-gyel osztva, vagyis e két összeg különbsége osztható 11-gyel. Ezek alapján két feltételt kaptak

x

-re és

y

-ra, és ‐ helyesen ‐ úgy okoskodtak tovább, hogy egy pozitív egész pontosan akkor osztható 99-cel, ha 9-cel és 11-gyel is osztható.