|
Feladat: |
Gy.2638 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Csikai Szabolcs , Csörnyei Marianna , Domokos Bálint , Eipl Anikó , Hatalyák Zsuzsanna , Koroknai Péter , Kosztolányi Zsolt , Molnár-Sáska Gábor , Pete Gábor , Risbjerg Anna , Simon Gábor , Szepes Ágnes , Szeredi Tibor , Zsenei András |
Füzet: |
1991/április,
158 - 159. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatóság, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2638 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Ismeretes, hogy ha akkor a -alapú számrendszerben felírt A szám pontosan akkor osztható -gyel, ha a "számjegyeinek'' összege ‐ természetesen alapú számrendszerbeli jegyekről van szó ‐ osztható -gyel. Esetünkben igen könnyen kapjuk a megadott számóriás felírását a -alapú számrendszerben: az új számjegyek a tízes számrendszerbeli alak jegyeiből kaphatók hátulról kettesével olvasva le azokat; vagyis
| | | | A "számjegyek'' összege tehát az adott szám pontosan akkor osztható 99-cel, ha is ilyen. Mivel és ezért azaz A talált határok között csupán egy 99-cel osztható szám van, maga a 99. Így tehát ‐ a tízes számrendszerbeli alak egyértelműségéből ‐ és Mivel lépéseink megfordíthatók voltak, a fenti választással valóban 99-cel osztható számhoz jutunk.
Simon Gábor (Szolnok, Varga Katalin Gimn., II. o. t.) dolgozata nyomán
Megjegyzés. Sok megoldó két részre bontva a feltételt, külön-külön használta a tízes számrendszerben felírt számok 9-cel és 11-gyel való oszthatóságának ismert feltételeit: egy tízes számrendszerben felírt szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha a jegyeinek összege osztható, és pontosan akkor osztható 11-gyel, ha a páros, illetve a páratlan helyiértéken álló jegyeinek összege ugyanazt a maradékot adja 11-gyel osztva, vagyis e két összeg különbsége osztható 11-gyel. Ezek alapján két feltételt kaptak -re és -ra, és ‐ helyesen ‐ úgy okoskodtak tovább, hogy egy pozitív egész pontosan akkor osztható 99-cel, ha 9-cel és 11-gyel is osztható. |
|