Feladat: Gy.2637 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Reiff Ádám 
Füzet: 1990/november, 396. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Téglatest, Térfogat, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/május: Gy.2637

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tükrözzük az

ABCDA'B'C'D'
testet az ABCD paralelogramma középpontjára. A tükrözés során az A és C, valamint a B és D pontok felcserélődnek, az A'B'C'D' négyszög képe pedig az S-sel párhuzamos S'' síkban elhelyezkedő A''B''C''D'' négyszög lesz.
 
 

Megmutatjuk, hogy az
A'B'C'D'A''B''C''D''
test egy négyszög alapú egyenes hasáb. Az AA' szakasz képe a tükrözésnél a CA'' szakasz, tehát A''C párhuzamos AA'-vel, vagyis merőleges S-re. De CC' is merőleges S-re, ezért az A'', C és C' pontok egy egyenesbe esnek. Ugyanígy láthatjuk be, hogy az A', A, C''; B', B, D'' és D', D, B'' ponthármasok is egy egyenesbe esnek. Tehát ‐ az S és az S'' síkok párhuzamosságát is felhasználva ‐ A'B'C'D'A''B''C''D'' egyenes hasáb. Oldaléleinek hossza C'A''=C'C+CA''=C'C+A'A=8+4=12cm, tehát térfogata V=tA'B'C'D'⋅C'A''=10⋅12=120cm3. Az eredeti ABCDA'B'C'D' test térfogata a test térfogatának a fele, 60cm3.
 

Reiff Ádám (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.)

 
Megjegyzés. A test térfogata nem függ a B és a D pontok S-től való távolságától. Sokan meghatározták D-nek S-től való távolságát (6cm), ez azonban a feladat megoldásához nem szükséges.