Feladat: Gy.2635 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Matolcsi Máté 
Füzet: 1991/január, 21 - 22. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trapézok, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/május: Gy.2635

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Legyenek a trapéz csúcsai A, B, C, D, az átlók metszéspontja M, a köré írt kör középpontja O, az ABD szöget pedig jelöljük α-val. Mivel a trapéz szimmetrikus, ezért az OM egyenes merőleges AB-re, így OMB∢=90∘-α. Az α szög a trapéz köré írt körben az AD húrhoz tartozó kerületi szög, ezért nagysága csak AD hosszától függ. Ezek alapján a szerkesztés menete a következő:

 
 

Az adott körön felveszünk két pontot, A'-t és D'-t úgy, hogy távolságuk megegyezzen a trapéz szárának adott hosszával. A nagyobbik A'D' íven tetszőlegesen felveszünk egy P pontot, akkor A'PD'∢=α. (α mindig hegyesszög, hiszen az AMB háromszögben két α nagyságú szög van.) Az α, valamint az adott O és M pontok ismeretében megszerkesztjük azt a BM egyenest, melyre BMO∢=90∘-α. A BM egyenes és a kör metszéspontjai a trapéz B és D csúcsai, ezeknek OM-re való tükörképei pedig A és C.
Az így szerkesztett szimmetrikus trapéz nyilván eleget tesz a feladat feltételeinek. Ha az M pont a körön belül van, és a szár hossza kisebb a kör átmérőjénél, akkor O≠M esetén egy, O≡M esetén végtelen sok (egymásból elforgatással kapható téglalap) megoldás van, egyébként pedig nincs megoldás.