|
Feladat: |
Gy.2628 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Álmos Attila , Győry Máté , Matolcsi Máté , Megyesi Zoltán , Molnár-Sáska Gábor , Piróth Attila , Szendrői Balázs , Ujváry-Menyhárt Zoltán , Virág Bálint |
Füzet: |
1991/február,
71 - 72. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/április: Gy.2628 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük az háromszög oldalait a szokásos módon , , -vel, a csúcshoz tartozó belső szögfelező és az oldal metszéspontját -vel, a ponton átmenő, a egyenessel párhuzamos egyenes és az egyenes metszéspontját pedig -vel (1. ábra).
1. ábra Ekkor , tehát a háromszög egyenlő szárú. Az és az háromszögek hasonlóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak, így az oldalaik aránya megegyezik: . Ebből, jelöléssel: Ezt felhasználva a szerkesztést a következő módon végezhetjük el: Az , és szakaszok ismeretében a negyedik arányos ismert szerkesztésével megszerkesztjük a szakaszt (2. ábra).
2. ábra Ezután megszerkesztjük a háromszöget, amelynek már mindhárom oldalát ismerjük, majd a szakasz -n túli meghosszabbítására felmérve a távolságot, megkapjuk az pontot. Az így szerkesztett háromszög eleget tesz a feltételeknek, mert a szerkesztés miatt és , továbbá , tehát a -hez tartozó belső szögfelező -vel párhuzamos, ezért hossza .
A feladatnak pontosan akkor van megoldása, ha a háromszög megszerkeszthető, vagyis ha rendezve: Tehát egy megoldás van, ha a szögfelezőnek előírt szakasz kisebb, mint az őt közrefogó két oldal harmonikus közepe, egyébként pedig nincs megoldás. |
|