Kezdőlap


Feladat:	Gy.2628	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Álmos Attila , Győry Máté , Matolcsi Máté , Megyesi Zoltán , Molnár-Sáska Gábor , Piróth Attila , Szendrői Balázs , Ujváry-Menyhárt Zoltán , Virág Bálint
Füzet:	1991/február, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/április: Gy.2628

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük az $A B C$ háromszög oldalait a szokásos módon $a$ , $b$ , $c$ -vel, a $C$ csúcshoz tartozó belső szögfelező és az $A B$ oldal metszéspontját $T$ -vel, a $B$ ponton átmenő, a $C T$ egyenessel párhuzamos egyenes és az $A C$ egyenes metszéspontját pedig $D$ -vel (1. ábra).

1. ábra

Ekkor

B D C ∢ = T C A ∢ = T C B ∢ = C B D ∢

, tehát a

C B D

háromszög egyenlő szárú. Az

A T C

és az

A B D

háromszögek hasonlóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak, így az oldalaik aránya megegyezik:

\frac{D B}{C T} = \frac{A D}{A C}

. Ebből,

C T = f_{c}

jelöléssel:

\begin{matrix} B D = \frac{a + b}{b} \cdot f_{c} . \end{matrix}

Ezt felhasználva a szerkesztést a következő módon végezhetjük el: Az

a

b

és

f_{c}

szakaszok ismeretében a negyedik arányos ismert szerkesztésével megszerkesztjük a

B D

szakaszt (2. ábra).

2. ábra

Ezután megszerkesztjük a

B D C

háromszöget, amelynek már mindhárom oldalát ismerjük, majd a

D C

szakasz

C

-n túli meghosszabbítására felmérve a

b

távolságot, megkapjuk az

A

pontot.
Az így szerkesztett

A B C

háromszög eleget tesz a feltételeknek, mert a szerkesztés miatt

B C = a

és

A C = b

, továbbá

A C B ∢ = 2 C D B ∢ = 2 C B D ∢

, tehát a

C

-hez tartozó belső szögfelező

B D

-vel párhuzamos, ezért hossza

C T = B D \cdot \frac{b}{a + b} = f_{c}

A feladatnak pontosan akkor van megoldása, ha a

B C D

háromszög megszerkeszthető, vagyis ha

\begin{matrix} 2 a > \frac{a + b}{b} \cdot f_{c}; \end{matrix}

rendezve:

\begin{matrix} \frac{2 a b}{a + b} > f_{c} . \end{matrix}

Tehát egy megoldás van, ha a szögfelezőnek előírt szakasz kisebb, mint az őt közrefogó két oldal harmonikus közepe, egyébként pedig nincs megoldás.