Feladat:	Gy.2627	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Marx Gábor
Füzet:	1990/november, 395. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/április: Gy.2627

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3+b^3+c^3=ab\left(a+b\right)-bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Egy háromszög pontosan akkor derékszögű, ha valamelyik oldalának négyzete megegyezik a másik két oldal négyzetének összegével. Elvégezve a $0$-ra redukált (1) jobb oldalán a szorzásokat, majd rendezve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =a^{2}b+a{b}^2-b^{2}c-b{c}^2+a^{2}c+a{c}^2-a^3-b^3-c^3=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =a\left(b^2+c^2-a^2\right)-b\left(b^2+c^2-a^2\right)-c\left(b^2+c^2-a^2\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(a-b-c\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $a$, $b$, $c$ egy háromszög oldalai, ezért a háromszög-egyenlőtlenség miatt $a-b-c<0$, tehát az eredeti egyenlőségünk ekvivalens az $a^2=b^2+c^2$ egyenlőséggel.