Kezdőlap


Feladat:	Gy.2624	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1991/március, 112 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek, Egészrész, törtrész függvények, Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/április: Gy.2624

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Bebizonyítjuk, hogy az egyenlet azonosság, a két oldal minden valós $x$ -re egyenlő. Írjuk $x$ -et $6 k + r$ alakba, ahol $k$ egész és $0 ≦ r < 6$ . Ekkor a minden egész $n$ -re és valós $x$ -re fennálló

\begin{matrix} [x + n] = [x] + n \end{matrix}

azonosság felhasználásával egyenlőségünk az eredeti

\begin{matrix} [\frac{r}{3}] + [\frac{r + 2}{6}] + [\frac{r + 4}{6}] = [\frac{r}{2}] + [\frac{r + 3}{6}] \end{matrix}

alakot ölti; ez azt jelenti, hogy elegendő a

[0; 6)

intervallumon igazolni a szóban forgó azonosságot.
Osszuk ehhez négy részre a

[0; 6)

intervallumot; ez megtehető úgy, hogy az egyes részintervallumokban állandók legyenek a bizonyítandó egyenlőség két oldalán szereplő összegek tagjai. Ezek az intervallumok a következők:

\begin{matrix} I_{1} = [0; 2), I_{2} = [2; 3), I_{3} = [3; 4), I_{4} = [4; 6) . \end{matrix}

Az egyes részeken a megfelelő mennyiségek értékét az alábbi táblázat tartalmazza:

\begin{matrix} r & \frac{r}{3} & \frac{r + 2}{6} & \frac{r + 4}{6} & Bal oldal értéke & \frac{r}{2} & \frac{r + 3}{6} & Jobb oldal értéke \\ [0; 2) & [0; \frac{2}{3}) & [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}) & [\frac{2}{3}; 1) & 0 & [0; 1) & [\frac{1}{2}; \frac{5}{6}) & 0 \\ [2; 3) & [\frac{2}{3}; 1) & [\frac{2}{3}; \frac{5}{6}) & [1; \frac{7}{6}) & 1 & [1; \frac{3}{2}) & [\frac{5}{6}; 1) & 1 \\ [3; 4) & [1; \frac{4}{3}) & [\frac{5}{6}; 1) & [\frac{7}{6}; \frac{4}{3}) & 2 & [\frac{3}{2}; 2) & [1; \frac{7}{6}) & 2 \\ [4; 6) & [\frac{4}{3}; 2) & [1; \frac{4}{3}) & [\frac{4}{3}; \frac{5}{3}) & 3 & [2; 3) & [\frac{7}{6}; \frac{3}{2}) & 3 \end{matrix}

Látható, hogy az egyenlőség minden

0 \leq r < 6

valós számra teljesül, és így a bevezetőben említettek szerint valóban

\begin{matrix} [\frac{x}{3}] + [\frac{x + 2}{6}] + [\frac{x + 4}{6}] = [\frac{x}{2}] + [\frac{x + 3}{6}] \end{matrix}

minden valós

x

-re.

II. megoldás. Az alábbi gondolatmenet egy önmagában is érdekes segédtétel felhasználásával kombinatorikai jelentést tulajdonít az egyenlőségben szereplő tagoknak, és ezzel a feladat hátterére is jobban rávilágít. Jegyezzünk meg annyit az első megoldásból, hogy az azonosságot elegendő a

[0; 6)

intervallumon ‐ valójában bármely

[a; a + 6)

intervallumon ‐ igazolni; mi most tetszőleges nemnegatív

x

-re bizonyítjuk be. Segítségünkre lesz ehhez az alábbi
Lemma: Ha

0 < r < d

adott egészek és

x \geq 0

, akkor a

(0; x]

intervallumban pontosan

[(x + d - r) / d]

darab olyan egész szám van, amelyik

d

-vel osztva

r

maradékot ad. A teljesség kedvéért jegyezzük meg, hogy az

r = 0

esetben ez az érték

[x / d]

.
A bizonyítandó azonosság azonnal következik a lemmából. Eszerint ugyanis ha

x \geq 0

, akkor a bal oldalon a

3

-mal osztható, illetve a

6

-tal osztva

4

vagy

2

maradékot adó

(0; x]

-beli egészek száma, a jobb oldalon pedig a páros, illetve a

6

-tal osztva

3

maradékot adó

(0; x]

-beli egészek száma áll. A két számhalmaz nyilván azonos, hiszen mindkét esetben a

(0; x]

-beli

6 k

;

6 k + 2

;

6 k + 3

;

6 k + 4

alakú számokról van szó; így elemszámuk is egyenlő, a bal oldal tehát valóban egyenlő a jobb oldallal, ha

x \geq 0

.
Hátra van még a lemma bizonyítása. Kezdjük először az

r = 0

esettel. Ez meglehetősen nyilvánvaló, hiszen a pozitív egész

d

-nek nyilván éppen annyi többszöröse van

0

és

x

között, mint ahány pozitív egész van

0

és

x / d

között: ez utóbbi mennyiség pedig az egészrész definíciója szerint nem más, mint

[x / d]

.
Az általános esetben vegyük észre, hogy az

x \mapsto x + d - r

megfeleltetés kölcsönösen egyértelműen képezi le a

(0; x]

-beli,

d

-vel osztva

r

maradékot adó számok halmazát a

(d - r;