A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A feladat állításánál többet igazolva megmutatjuk, hogy | | (1) | minden pozitív egész -re egész szám. Ebből helyettesítéssel a feladat állítását kapjuk. A bizonyításhoz alakítsuk át () számlálóját:
Az első tag osztható -tel, így elegendő igazolni, hogy Ez az oszthatóság gyorsan adódik például a binomiális tételből, mi most egy másik utat választunk. Ismeretes, hogy két szám -edik hatványának különbsége szorzattá alakítható. Ezt alkalmazva: | | Látható, hogy a kapott szorzat második tényezőjében az darab tag mindegyike () hatványa, és így -nel osztva maradékot ad; az -tagú összeg ezért osztható -nel, maga a szorzat pedig -tel, és ezt akartuk bizonyítani.
Imreh Csanád (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)
II. megoldás. Megmutatjuk, hogy ha tetszőleges, -től különböző valós szám, pedig pozitív egész, akkor | | (2) |
Innen , helyettesítéssel azt kapjuk, hogy a feladatban szereplő tört értéke egész számok összege, | | és így természetesen egész. A azonosság bizonyítását legegyszerűbben az -re vonatkozó teljes indukcióval végezhetjük. Ha , akkor a jobb oldal számlálója , ha pedig , akkor az indukciós feltevés szerint kapott | | egyenlőség jobb oldalát rendezve éppen jobb oldalát kapjuk.
Megjegyzés. A differenciálási szabályok felhasználásával másképpen is bebizonyítható a azonosság. Vegyük észre ugyanis, hogy a bal oldalon éppen az deriváltja áll. A függvény ugyanakkor a mértani sorozat összegére vonatkozó formula szerint esetben összegezhető: és ebben az alakban deriválva éppen jobb oldalát kapjuk. |
|