Kezdőlap


Feladat:	Gy.2623	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Imreh Csanád
Füzet:	1991/március, 111 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Teljes indukció módszere, Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/április: Gy.2623

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A feladat állításánál többet igazolva megmutatjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{(n - 1) {(n + 1)}^{n} - n {(n + 1)}^{n - 1} + 1}{n^{2}} \end{matrix}

(1)

minden pozitív egész

n

-re egész szám. Ebből

n = 1990

helyettesítéssel a feladat állítását kapjuk.
A bizonyításhoz alakítsuk át (

1

) számlálóját:

\begin{matrix} (n - 1) {(n + 1)}^{n} - n {(n + 1)}^{n - 1} + 1 = (n^{2} - 1) {(n + 1)}^{n - 1} - n {(n + 1)}^{n - 1} + 1 = \\ = n^{2} {(n + 1)}^{n - 1} - [{(n + 1)}^{n} - 1] . \end{matrix}

Az első tag osztható

n^{2}

-tel, így elegendő igazolni, hogy

\begin{matrix} n^{2} ∣ {(n + 1)}^{n} - 1. \end{matrix}

Ez az oszthatóság gyorsan adódik például a binomiális tételből, mi most egy másik utat választunk. Ismeretes, hogy két szám

n

-edik hatványának különbsége szorzattá alakítható. Ezt alkalmazva:

\begin{matrix} {(n + 1)}^{n} - 1 = n [{(n + 1)}^{n - 1} + {(n + 1)}^{n - 2} + ... + {(n + 1)}^{2} + (n + 1) + 1] . \end{matrix}

Látható, hogy a kapott szorzat második tényezőjében az

n

darab tag mindegyike (

n + 1

) hatványa, és így

n

-nel osztva

1

maradékot ad; az

n

-tagú összeg ezért osztható

n

-nel, maga a szorzat pedig

n^{2}

-tel, és ezt akartuk bizonyítani.

Imreh Csanád (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)

II. megoldás. Megmutatjuk, hogy ha

x

tetszőleges,

1

-től különböző valós szám,

n

pedig pozitív egész, akkor

\begin{matrix} 1 + 2 x + 3 x^{2} + ... + n \cdot x^{n - 1} = \frac{n \cdot x^{n + 1} - (n + 1) x^{n} + 1}{{(x - 1)}^{2}} . \end{matrix}

(2)

Innen

x = 1991

n = 1989

helyettesítéssel azt kapjuk, hogy a feladatban szereplő tört értéke egész számok összege,

\begin{matrix} 1 + 2 \cdot 1991 + 3 \cdot 1991^{2} + ... + 1989 \cdot 1991^{1988}, \end{matrix}

és így természetesen egész.
A

(2)

azonosság bizonyítását legegyszerűbben az

n

-re vonatkozó teljes indukcióval végezhetjük. Ha

n = 1

, akkor a jobb oldal számlálója

{(x - 1)}^{2}

, ha pedig

n > 1

, akkor az indukciós feltevés szerint kapott

\begin{matrix} (1 + 2 x + ... + (n - 1) \cdot x^{n - 2}) + n \cdot x^{n - 1} = \frac{(n - 1) x^{n} - n \cdot x^{n - 1} + 1}{{(n - 1)}^{2}} + n \cdot x^{n - 1} \end{matrix}

egyenlőség jobb oldalát rendezve éppen

(2)

jobb oldalát kapjuk.

Megjegyzés. A differenciálási szabályok felhasználásával másképpen is bebizonyítható a

(2)

azonosság. Vegyük észre ugyanis, hogy a bal oldalon éppen az

\begin{matrix} f (x) = 1 + x + x^{2} + ... + x^{n} \end{matrix}

deriváltja áll. A függvény ugyanakkor a mértani sorozat összegére vonatkozó formula szerint

x \neq 1

esetben összegezhető:

\begin{matrix} f (x) = \frac{x^{n + 1} - 1}{x - 1}, \end{matrix}

és ebben az alakban deriválva éppen

(2)

jobb oldalát kapjuk.