|
Feladat: |
Gy.2621 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Álmos Attila , Barczi Péter , Berente Bálint , Bíró Gabriella , Böröczky Katalin , Csorba Péter , Faragó Gergely , Farkas Zénó , Garzó Dénes , Katsányi István , Koós Gábor , Lente Gábor , Márton Zsolt , Megyesi Zoltán , Molnár-Sáska Gábor , Nagy Judit , Papp Zsombor , Piróth Attila , Somogyi Balázs , Szabó Csaba , Szabó Zsolt , Szendrői Balázs , Tegzes Pál , Veres Gábor , Waldmann Tamás , Zsámboki Ferenc |
Füzet: |
1991/március,
109 - 111. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Mértani helyek, Térgeometria alapjai, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/március: Gy.2621 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelöljük a kör középpontját -vel, sugarát -vel , az szakasz felezőpontját -val, az -n átmenő, síkjával párhuzamos síkot pedig -sel. Feltehetjük, hogy .
1. ábra Legyen a kör egy rögzített pontja. Kicsinyítsük a kört az pontból a felére. Az így kapott kört jelöljük -val, középpontját -val (1. ábra). A középpontos hasonlóság tulajdonságaiból következik, hogy ha a kör tetszőleges pontja, akkor az szakasz felezőpontja -n van, és megfordítva, ha a kör tetszőleges pontja, akkor van olyan -n lévő pont, hogy éppen az szakasz felezőpontja. Továbbá éppen az szakasz felezőpontja, ezért az háromszögben középvonal, így , a kör sugara pedig . Ha az pont befutja a kört, akkor a megfelelő pontok miatt egy középpontú, sugarú kört futnak be, a körök így egy középpontú körgyűrűt súrolnak, melynek külső sugara , belső sugara pedig (2. ábra).
2. ábra Ha tehát egy tetszőleges ‐ a feladatban szereplő ‐ szakasz, akkor egybeesik valamelyik -val, következésképpen felezőpontja rajta van az -hoz tartozó körön, azaz eleme a körgyűrűnek. Megfordítva, ha a körgyűrű egy tetszőleges pontja, akkor van olyan kör (pontosan , ha belső pont és pontosan , ha határpont), amelyik átmegy -n, ezért ha a -nak megfelelő pontból -t a kétszeresére nagyítjuk, úgy a kapott pont a kör egy pontja, az szakasz felezőpontja pedig . Ily módon a keresett mértani hely az síkban fekvő, középpontú körgyűrű, melynek külső sugara , belső sugara pedig .
|
|