Kezdőlap


Feladat:	Gy.2621	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Álmos Attila , Barczi Péter , Berente Bálint , Bíró Gabriella , Böröczky Katalin , Csorba Péter , Faragó Gergely , Farkas Zénó , Garzó Dénes , Katsányi István , Koós Gábor , Lente Gábor , Márton Zsolt , Megyesi Zoltán , Molnár-Sáska Gábor , Nagy Judit , Papp Zsombor , Piróth Attila , Somogyi Balázs , Szabó Csaba , Szabó Zsolt , Szendrői Balázs , Tegzes Pál , Veres Gábor , Waldmann Tamás , Zsámboki Ferenc
Füzet:	1991/március, 109 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Mértani helyek, Térgeometria alapjai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: Gy.2621

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a $k_{i}$ kör középpontját $O_{i}$ -vel, sugarát $r_{i}$ -vel $(i = 1,2)$ , az $O_{1} O_{2}$ szakasz felezőpontját $O$ -val, az $O$ -n átmenő, $k_{1}$ síkjával párhuzamos síkot pedig $S$ -sel. Feltehetjük, hogy $r_{1} ⩾ r_{2}$ .

1. ábra

Legyen

F_{α}

k_{1}

kör egy rögzített pontja. Kicsinyítsük a

k_{2}

kört az

F_{α}

pontból a felére. Az így kapott kört jelöljük

c_{α}

-val, középpontját

K_{α}

-val (1. ábra). A középpontos hasonlóság tulajdonságaiból következik, hogy ha

M_{2}

k_{2}

kör tetszőleges pontja, akkor az

F_{α} M_{2}

szakasz felezőpontja

c_{α}

-n van, és megfordítva, ha

P_{α}

c_{α}

kör tetszőleges pontja, akkor van olyan

k_{2}

-n lévő

M_{2}

pont, hogy

P_{α}

éppen az

F_{α} M_{2}

szakasz felezőpontja. Továbbá

K_{α}

éppen az

F_{α} O_{2}

szakasz felezőpontja, ezért az

F_{α} O_{1} O_{2}

háromszögben

K_{α} O

középvonal, így

K_{α} O = F_{α} O_{1} / 2 = r_{1} / 2

, a

c_{α}

kör sugara pedig

r_{2} / 2

. Ha az

F_{α}

pont befutja a

k_{1}

kört, akkor a megfelelő

K_{α}

pontok

K_{α} O = r_{1} / 2

miatt egy

O

középpontú,

r_{1} / 2

sugarú kört futnak be, a

c_{α}

körök így egy

O

középpontú körgyűrűt súrolnak, melynek külső sugara

O K_{α} + r_{2} / 2 = (r_{1} + r_{2}) / 2

, belső sugara pedig

O K_{α} - r_{2} / 2 = (r_{1} - r_{2}) / 2

(2. ábra).

2. ábra

Ha tehát

M_{1} M_{2}

egy tetszőleges ‐ a feladatban szereplő ‐ szakasz, akkor

M_{1}

egybeesik valamelyik

F_{α}

-val, következésképpen

M_{1} M_{2}

felezőpontja rajta van az

F_{α}

-hoz tartozó

c_{α}

körön, azaz eleme a körgyűrűnek.
Megfordítva, ha

T

a körgyűrű egy tetszőleges pontja, akkor van olyan

c_{α}

kör (pontosan

2

, ha

T

belső pont és pontosan

1

, ha

T

határpont), amelyik átmegy

T

-n, ezért ha a

c_{α}

-nak megfelelő

F_{α}

pontból

T

-t a kétszeresére nagyítjuk, úgy a kapott

T_{2}

pont a

k_{2}

kör egy pontja, az

F_{α} T_{2}

szakasz felezőpontja pedig

T

.
Ily módon a keresett mértani hely az

S

síkban fekvő,

O

középpontú körgyűrű, melynek külső sugara

(r_{1} + r_{2}) / 2

, belső sugara pedig

(r_{1} - r_{2}) / 2