Kezdőlap


Feladat:	Gy.2618	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Judit
Füzet:	1991/március, 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: Gy.2618

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Egy hatszög belső szögeinek összege $4 \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}$ . Mivel hatszögünk minden szöge egyenlő, ezért minden belső szög $720^{\circ} / 6 = 120^{\circ}$ , vagyis minden külső szög $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ . Hosszabbítsuk meg az $A F, B C$ és $D E$ oldalakat, messék ezek egymást páronként az ábra szerint az $X, Y, Z$ pontokban.

1. ábra

Mivel az

X A B ∢, X B A ∢, Y C D ∢, Y D C ∢, Z E F ∢

és

Z F E ∢

a hatszög egy-egy külső szöge, ezért mindegyikük

60^{\circ}

. Ekkor az

X A B, Y C D, Z E F

háromszögek szabályosak, de így az

X Y Z

háromszög mindhárom szöge is

60^{\circ}

, vagyis ez a háromszög is szabályos. Ennek a háromszögnek az oldalaira:

\begin{matrix} X Y = X B + B C + C Y = A B + B C + C D, \\ Y Z = Y D + D E + E Z = C D + D E + E F, \\ Z X = Z F + F A + A X = E F + F A + A B . \end{matrix}

Ezeket behelyettesítve az

X Y = Y Z

és

Y Z = Z X

egyenlőségekbe, majd rendezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} A B - D E = E F - B C és C D - F A = A B - D E . \end{matrix}

Nagy Judit (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)