Kezdőlap


Feladat:	Gy.2617	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csekő Zoltán , Koós Gábor
Füzet:	1991/március, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladványok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: Gy.2617

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $y$ szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy ha $y \geq 0$ , akkor

\begin{matrix} x * y = x (y + 1) - y . \end{matrix}

(1)

Az 1. feltétel szerint (1) tetszőleges

x

mellett teljesül, ha

y = 0

. Legyen most

y \geq 0

, és tegyük fel, hogy (1) minden

x

-re teljesül. A 3. feltételből

\begin{matrix} x * (y + 1) = 3 (x * y) - x y + 2 y - [(x + 1) * y] . \end{matrix}

A jobb oldal értéke az indukciós feltevés szerint

\begin{matrix} 3 [x (y + 1) - y] - x y + 2 y - [(x + 1) (y + 1) - y], \end{matrix}

ahonnan rendezés után

\begin{matrix} x y + 2 x - (y + 1) = x (y + 2) - (y + 1) \end{matrix}

adódik, ami éppen

x * (y + 1)

-nek az (1) állítás szerinti alakja. Ezzel az indukciós bizonyítást befejeztük.
A feladat kérdésére ezek után már könnyen választ adhatunk:

\begin{matrix} 19 * 90 = 19 \cdot 91 - 90 = 1639. \end{matrix}

Megjegyzések. 1. A megoldás során nem használtuk fel a 2. feltételt, a keresett értéket az 1. és a 3. feltételek már meghatározzák. A talált alakra teljesül a 2. feltétel is, a szóban forgó művelet tehát valóban létezik.
2. Bár a feladat kérdésének megválaszolásához erre nincsen szükség, újabb indukciós gondolatmenetekkel igazolható, hogy az 1. és 3. feltételekből minden egész

x, y

számpárra következik, hogy

\begin{matrix} x * y = x (y + 1) - y . \end{matrix}

Csekő Zoltán (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.)dolgozata alapján