Ha a $p$ és $q$ prímek összege is prím, akkor egyikük $2$, másként az összeg $2$-nél nagyobb páros szám, és így nem lehetne prímszám. Mivel a feltétel szerinti másik prím $p^2+q^2-q$, és itt $\left(q^2-q\right)=q\left(q-1\right)$ páros pozitív szám, ezért $p^2$ nem lehet páros; így csak $q=2$ lehetséges. Ebben az esetben $p+q=p+\mathrm{2,}{p}^2+q^2-q=p^2+2$, így olyan $p$ prímet keresünk, melyre $p+2$ és $p^2+2$ is prímszámok.