Megoldás. Írjuk először a feladatban szereplő konvex poliéder minden élére a $+1$ számot, és nevezzük a poliéder tetszőleges csúcsát $+1$-csúcsnak vagy $-1$-csúcsnak aszerint, hogy az oda befutó élekre írt számok szorzata $+1$ vagy $-1$. Egyelőre tehát a poliéder minden csúcsa $+1$-csúcs, és azt kell belátnunk, hogy az élek megszámozhatók a $+1$ és a $-1$ számokkal úgy, hogy mindegyik csúcs $-1$-csúcs legyen. Nyilván elegendő megadnunk egy olyan algoritmust, amely ‐ feltéve, hogy van legalább $2$ darab $+1$ csúcs $-$ pontosan $2$-vel növeli a $-1$-csúcsok számát azáltal, hogy néhány élnél az ellentettjére változtatja a ráírt számot. Ha ui. ezt az algoritmust egymás után $50$-szer alkalmazzuk, akkor lépésenként rendre $\mathrm{2,}\mathrm{4,}\mathrm{6,}\text{...}\mathrm{,}100$ lesz a $-1$-csúcsok száma, tehát végül valamennyi csúcs $-1$-csúcs lesz.
Az algoritmus a következő. Tegyük fel, hogy konvex poliéderünknek van $2$ darab $+1$-csúcsa, legyenek ezek $P$ és $Q$. Ekkor ‐ mivel konvex poliéderről van szó $-P$ és $Q$ összeköthető a poliéder éleiből álló $T$ töröttvonallal. Ha $T$-n keresztül $P$-ből kiindulva elmegyünk $Q$-ba, akkor feltehetjük, hogy utunk során semelyik csúcsot sem érintettük kétszer, hiszen ilyen esetben $T$ tartalmaz olyan zárt töröttvonalat, amelyet $T$-ből elhagyva egy kevesebb élből álló $T\text{'}$ töröttvonalhoz jutunk, márpedig ez az eljárás csak véges sokszor ismételhető meg, hiszen a $T$-beli élek száma véges (1. ábra).

 

1.a) ábra: $T$, amely tartalmaz ,,kétszeres'' $R$ csúcsot

 

1.b) ábra: $T\text{'}$, amely $T$-ből egy zárt töröttvonal elhagyásával keletkezett

 

2.a) ábra: T az algoritmus alkalmazása előtt ($P$ és $Q+1$ csúcsok)

 

2.b) ábra: T az algoritmus alkalmazása után ($P$ és $Q-1$ csúcsok)