Kezdőlap


Feladat:	Gy.2604	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csorba Péter , Faragó Gergely , Futó Gábor , Gefferth András , Imolay Olivér , Kerekes Balázs , Molnár-Sáska Gábor , Nógrádi Zoltán , Veres Tamás
Füzet:	1991/január, 15 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Pont körüli forgatás, Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/január: Gy.2604

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az átlók által meghatározott két kis nyolcszög is szabályos, mert az eredeti nyolcszög középpontja körüli $45^{\circ}$ -os, $90^{\circ}$ -os, $...,$ $315^{\circ}$ -os elforgatások a kis nyolcszögeket is önmagukba viszik át. Ezért a két kis nyolcszög területének aránya megegyezik egy-egy oldaluk négyzetének arányával. Elegendő tehát a kis nyolcszögek oldalainak hosszát meghatároznunk.

2. ábra

Válasszuk az eredeti nyolcszög oldalát egységnek. A szabályos nyolcszög tulajdonságaiból következik, hogy ‐ (2. ábra) ‐

H B D ∢ = 90^{\circ}

és

H D ∥ A C

, tehát az

L B K

háromszög derékszögű és egyenlő szárú. Ezért, ha

L K = a

, akkor

B L = \frac{a \sqrt[]{2}}{2}

. Továbbá

B A C ∢ = A B H ∢

, hiszen a szabályos nyolcszög köré írt körben ugyanolyan hosszú húrokhoz tartozó kerületi szögek; így a

B A L

háromszög egyenlő szárú:

A L = B L = \frac{a \sqrt[]{2}}{2}

. Ha

M

K L

szakasz felezőpontja, akkor

B M = M L = \frac{a}{2}

. A

B M A

háromszög derékszögű, ezért Pitagorasz tétele szerint:

\begin{matrix} B M^{2} + M A^{2} = A B^{2}, vagyis {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2} + \frac{a \sqrt[]{2}}{2})}^{2} = 1. \end{matrix}

Ebből kifejezhetjük a másodszomszédos csúcsokat összekötő átlók által meghatározott nyolcszög oldalát:

\begin{matrix} a = \sqrt[]{2 - \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

3. ábra

Jelöljük a harmadszomszédos csúcsokat összekötő átlók által meghatározott nyolcszög oldalát

b

-vel (3. ábra). A szabályos nyolcszög tulajdonságaiból következik, hogy az egybevágó

P Q R

és

S T U

háromszögek egyenlő szárúak és derékszögűek, ezért

P Q = S T = \frac{b \sqrt[]{2}}{2}

. A

B C T P

négyszög pedig téglalap, amiért

P T = B C = 1

. Így

\begin{matrix} 1 = P T = P Q + Q S + S T = \frac{b \sqrt[]{2}}{2} + b + \frac{b \sqrt[]{2}}{2}, \end{matrix}

ebből pedig

\begin{matrix} b = \sqrt[]{2} - 1. \end{matrix}

Tehát a nyolcszögek területének aránya:

\begin{matrix} a^{2} : b^{2} = (2 - \sqrt[]{2}) : {(\sqrt[]{2 - 1})}^{2} = (2 + \sqrt[]{2}) : 1 (\approx 3,41 : 1 \approx 1 : 0, 293) . \end{matrix}