A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először egy, a derékszögű háromszögekre vonatkozó egyenlőtlenséget bizonyítunk be: (*) Ha és egy derékszögű háromszög befogói, pedig az átfogó, akkor
1. ábra Bizonyítás. Jelöljük -mel a háromszög átfogóhoz tartozó magasságát. Ekkor , hiszen mindkettő megegyezik a háromszög területének kétszeresével. Pitagorasz tétele szerint tehát, . Vagyis
azaz
amiből ‐ pozitív számokról lévén szó ‐ következik, hogy . Másrészt tudjuk, hogy (1. ábra), tehát ; ezzel a (*) állítást beláttuk.
2. ábra Térjünk vissza eredeti feladatunkra. Ha a deltoid konkáv, akkor állításunk triviális (a 2. ábra jelöléseivel: , , tehát ). Ha a deltoid konvex, akkor jelöljük oldalainak hosszát -val és -vel (), átlóit -vel és -fel úgy, hogy felezi -et, pedig és hosszúságú részekre osztja -t (3. ábra).
3. ábra Az átlók a deltoidot négy derékszögű háromszögre bontják. A (*) állítást ezen háromszögekre alkalmazva kapjuk, hogy
és
Ezeket összeadva és felhasználva, hogy , kapjuk hogy
ami éppen a bizonyítandó állítás.
Lente Gábor (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzés. A (*) állítás a számtani és a négyzetes közép közti egyenlőtlenség felhasználásával egyszerűbben is bizonyítható:
vagyis is igaz. |
|