Kezdőlap


Feladat:	Gy.2602	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lente Gábor
Füzet:	1990/december, 455 - 456. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Középpontos tükrözés, Négyszögek szerkesztése, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/január: Gy.2602

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a húrnégyszög köré írt kör középpontját $O$ -val, $O$ -nak az oldalakra vonatkozó tükörképeit rendre $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ -mal, a húrnégyszög $B$ -nél lévő szögét pedig $β$ -val (1. ábra).

1. ábra

A tükrözések miatt

T_{1} B = O B = T_{2} B

és

T_{2} C = O C = T_{3} C

. Ezért

C

rajta van a

T_{2} T_{3}

szakasz felező merőlegesén,

B

pedig a

T_{1} T_{2}

szakasz felező merőlegesén. Másrészt a

T_{1} O

és a

T_{2} O

szakaszok merőlegesek a húrnégyszög megfelelő oldalaira, ezért

T_{1} O T_{2} = 180^{\circ} - A B C ∢ = 180^{\circ} - β

, tehát a

B

pont éppen a

T_{1} T_{2}

szakasz ‐ egyik ‐

(180^{\circ} - β)

szögű látókörének középpontja. Ezeket felhasználva,

O B = O C

figyelembevételével a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el:
Megszerkesztjük a

T_{1} T_{2}

szakasz

(180^{\circ} - β)

szögű látókörét, ennek középpontja

B

. A

T_{2}

középpontú,

T_{2} B

sugarú kör és a

T_{2} T_{3}

szakasz felező merőlegesének a metszéspontja

C

, a

T_{2}

pont

B C

-re vonatkozó tükörképe

O

. Ezután a

B

pontot

O T_{1}

-re, a

C

pontot pedig

O T_{3}

-ra tükrözzük, igy kapjuk az

A

és a

D

pontokat.
A kapott

A B C D

négyszög valóban húrnégyszög, mivel a szerkesztésből következik, hogy

O A = O B = O C = O D

. Az

A B C

szög viszont csak akkor egyenlő

β

-val, ha

O

és

B

T_{1} T_{2}

egyenes különböző oldalain helyezkedik el. (Ellenkező esetben

A B C ∢ = 180^{\circ} - β

.) Tehát a

T_{1} T_{2}

szakasz két

(180^{\circ} - β)

szögű látókörének középpontja közül csak az egyik ‐ amelyik

T_{1} T_{2}

-nek

T_{3}

-mal ellentétes oldalán helyezkedik el ‐ ad jó megoldást. Ezért a megoldások száma

2

1

vagy

0

attól függően, hogy a

T_{2}

középpontú,

T_{2} B

sugarú körnek és a

T_{3} T_{2}

szakasz felező merőlegesének hány közös pontja van (2. ábra).

2. ábra