A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha van olyan 1990 nevezőjű tört, melynek tizedestört alakjában négy szomszédos egyforma tizedesjegy van, akkor olyan tört is létezik, amelyben az egyforma tizedesjegyek közvetlenül a tizedesvessző után állnak; ehhez elég, ha a számlálót a megfelelő 10-hatvánnyal megszorozzuk. Az is föltehető, hogy a számláló kisebb 1990-nél, hiszen a tizedesvessző utáni jegyek csak a számlálónak az 1990-nel való osztási maradékától függenek. Legyen most a négy egyforma jegyből á11ó csoport "". Az előbbiek szerint létezik olyan pozitív egész , melyre
Ha most a négyjegyű pozitív egész számot -vel jelöljük, akkor (1) pontosan akkor teljesül, ha
azaz 1990-nel végigszorozva:
Azt kaptuk, hogy pontosan akkor létezik a szóban forgó tulajdonságú tört, ha a intervallum tartalmaz egész számot; ez lenne a tört számlálója. A tíz lehetséges esetet végignézve (ti. ) tapasztalhatjuk, hogy az adott típusú intervallumok belsejében nincsen egész szám, így nem létezik a keresett tört, valóban hiba történt a számolásban.
Stőhr Lóránt (Bp., Apáczai Csere J. Gimn., II. o. t.)
II. megoldás. Az I. megoldás föltevéseit és jelöléseit használva tegyük fel, hogy létezik olyan egész, amelyre teljesül (2). Szorozzuk meg (2)-t -nel, és használjuk fel, hogy . Igy azt kapjuk, hogy
azaz minden tagból -et levonva:
Mivel is, is kisebb, mint (hiszen számjegy), így (4)-bő1 az következik, hogy
azaz szóba jövő értékei: , és . Mindhárom esetben egy-egy kétismeretlenes diofantikus egyenletet kapunk; olyan megoldást keresünk, melyre és . A egyenlet ilyen megoldása , ; a egyenletnek nincs a fenti típusú megoldása, hiszen , így az egyenletből következik; végül a egyenlet megoldása , . Könnyen látható, hogy a talált megoldások egyikére sem teljesül (2). Ne feledjük, hogy csupán a durvább (5) alapján kaptuk őket! Így valóban nem létezik a mondott tulajdonságú tört. Megjegyzések. 1. A feladat szövegben lényeges, hogy az egyforma jegyeket a tizedesvessző után követeljük meg. Például a
szám tizedeltört alakjában található szomszédos egyforma számjegy. 2. Tetszőleges négy jegyből álló jegycsoport pontosan akkor fordul elő egy 1990 nevezőjű tört tizedesjegyei között, ha valamilyen -val teljesül (3). Látható, hogy a darab négyjegyű csoportból pontosan található meg valamely nevezőjű tört tizedesjegyei között. Ugyanez a helyzet az öt- vagy annál több jegyből álló csoportok esetén is. Ami a 3-jegyű csoportokat illeti, ezek közül viszont már mindegyik előfordul, hiszen ekkor a (3)-nak megfelelő
feltétel minden -re teljesül valamilyen egész számmal. A kapott intervallum hossza ugyanis -nél nagyobb , így az mindig tartalmaz egész számot ‐ általában kettőt is. |