Kezdőlap


Feladat:	Gy.2599	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Stőhr Lóránt
Füzet:	1990/december, 453 - 455. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hol a hiba?, Maradékos osztás, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/január: Gy.2599

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha van olyan 1990 nevezőjű tört, melynek tizedestört alakjában négy szomszédos egyforma tizedesjegy van, akkor olyan tört is létezik, amelyben az egyforma tizedesjegyek közvetlenül a tizedesvessző után állnak; ehhez elég, ha a számlálót a megfelelő 10-hatvánnyal megszorozzuk. Az is föltehető, hogy a számláló kisebb 1990-nél, hiszen a tizedesvessző utáni jegyek csak a számlálónak az 1990-nel való osztási maradékától függenek.
Legyen most a négy egyforma jegyből á11ó csoport " $d d d d$ ". Az előbbiek szerint létezik olyan pozitív egész $A$ , melyre

\begin{matrix} \frac{A}{1990} = 0, d d d d ... & (1) \end{matrix}

Ha most a négyjegyű pozitív egész

\bar{d d d d}

számot

D

-vel jelöljük, akkor (1) pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} \frac{D + 1}{10^{4}} > \frac{A}{1990} ≧ \frac{D}{10^{4}}, & (2) \end{matrix}

azaz 1990-nel végigszorozva:

\begin{matrix} 0,199 (D + 1) > A ≧ 0,199 D . & (3) \end{matrix}

Azt kaptuk, hogy pontosan akkor létezik a szóban forgó tulajdonságú tört, ha a

[0,199 D; 0,199 (D + 1))

intervallum tartalmaz egész számot; ez lenne a tört számlálója.
A tíz lehetséges esetet végignézve (ti.

0 ≦ d ≦ 9

) tapasztalhatjuk, hogy az adott típusú intervallumok belsejében nincsen egész szám, így nem létezik a keresett tört, valóban hiba történt a számolásban.

Stőhr Lóránt (Bp., Apáczai Csere J. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Az I. megoldás föltevéseit és jelöléseit használva tegyük fel, hogy létezik olyan

1 ≦ A < 1990

egész, amelyre teljesül (2). Szorozzuk meg (2)-t

9 \cdot 1990

-nel, és használjuk fel, hogy

9 D = 9 \cdot 1111 \cdot d = (10^{4} - 1) d

. Igy azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{9 \cdot 1990 + d \cdot 1990 (10^{4} - 1)}{10^{4}} > 9 A ≧ \frac{d \cdot 1990 (10^{4} - 1)}{10^{4}}, \end{matrix}

azaz minden tagból

d \cdot 1990

-et levonva:

\begin{matrix} \frac{(9 - d) \cdot 1990}{10^{4}} > 9 A - 1990 d ≧ - \frac{1990 d}{10^{4}} . & (4) \end{matrix}

Mivel

(9 - d) \cdot 1990

is,

d \cdot 1990

is kisebb, mint

2 \cdot 10^{4}

(hiszen

d

számjegy), így (4)-bő1 az következik, hogy

\begin{matrix} 2 > 9 A - 1990 d > - 2, & (5) \end{matrix}

azaz

9 A - 1990 d

szóba jövő értékei:

- 1

0

és

1

.
Mindhárom esetben egy-egy kétismeretlenes diofantikus egyenletet kapunk; olyan megoldást keresünk, melyre

1 ≦ A < 1990

és

0 ≦ d < 10

.
A

9 A - 1990 d = - 1

egyenlet ilyen megoldása

A = 221

d = 1

;
a

9 A - 1990 d = 0

egyenletnek nincs a fenti típusú megoldása, hiszen

(9, 1990) = 1

,
így az egyenletből

1990 | A

következik; végül a

9 A - 1990 d = 1

egyenlet megoldása

A = 1769

d = 8

.
Könnyen látható, hogy a talált megoldások egyikére sem teljesül (2). Ne feledjük, hogy csupán a durvább (5) alapján kaptuk őket! Így valóban nem létezik a mondott tulajdonságú tört.
Megjegyzések. 1. A feladat szövegben lényeges, hogy az egyforma jegyeket a tizedesvessző után követeljük meg. Például a

\begin{matrix} 88 + \frac{1769}{1990} = 88,8889 ... \end{matrix}

szám tizedeltört alakjában található

5

szomszédos egyforma számjegy.
2. Tetszőleges négy jegyből álló

D

jegycsoport pontosan akkor fordul elő egy 1990 nevezőjű tört tizedesjegyei között, ha valamilyen

A

-val teljesül (3). Látható, hogy a

10^{4}

darab négyjegyű csoportból pontosan

1990

található meg valamely

1990

nevezőjű tört tizedesjegyei között. Ugyanez a helyzet az öt- vagy annál több jegyből álló csoportok esetén is. Ami a 3-jegyű csoportokat illeti, ezek közül viszont már mindegyik előfordul, hiszen ekkor a (3)-nak megfelelő

\begin{matrix} 1,99 (D + 1) > A ≧ 1,99 D & (3') \end{matrix}

feltétel minden

D

-re teljesül valamilyen

A

egész számmal. A kapott intervallum hossza ugyanis

1

-nél nagyobb

(1,99)

, így az mindig tartalmaz egész számot ‐ általában kettőt is.