Feladat: Gy.2597 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Álmos Á. ,  Barczi P. ,  Berente B. ,  Csorba P. ,  Csörnyei Mariann ,  Faragó G. ,  Farkas Z. ,  Frankó T. ,  Garzó D. ,  Gefferth A. ,  György A. ,  Hídvégi Márta ,  Horvai P. ,  Imreh Cs. ,  Keresztély Viktória ,  Komócsi S. ,  Kuba A. ,  Kulcsár B. ,  Matolcsi M. ,  Mityók Barbara ,  Molnár-Sáska G. ,  Perlaki T. ,  Risbjerg Anna ,  Szatmári Alexandra ,  Szendrői B. ,  Szűts D. ,  Tegzes P. ,  Tóth 875 Cs. ,  Varga 789 B. ,  Veres G. 
Füzet: 1990/október, 310. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Halmazalgebra, Térelemek és részeik, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/december: Gy.2597

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyításhoz két, igen könnyen belátható észrevételt bocsátunk előre:
(i) Ha a P pont az XY átmérőjű gömbön kívül helyezkedik el, akkor XPY<90 (1. ábra).

 
 

1. ábra
 

(ii) Ha XPY<90, akkor az X és Y pontok az XP szakaszra merőleges, P-n átmenő síknak ugyanazon az oldalán helyezkednek el (2. ábra).
 
 

2. ábra
 

A fentiek birtokában az állítást a következőképpen igazolhatjuk: Tegyük fel, hogy az ABCD tetraédernek van egy olyan P pontja, amely a három gömb mindegyikén kívül helyezkedik el. Ekkor (i) miatt az APB, APC, APD szögek mindegyike kisebb, mint 90. Állítsunk AP-re P-ben merőleges síkot, (ii) miatt az A, B, C, D pontok mindegyike ennek a (P-n átmenő) síknak ugyanazon az oldalán helyezkedik el. Így azonban P nem lehet az ABCD tetraéder pontja. Tehát a három gömb egyesítése tartalmazza a tetraédert.
 

Risbjerg Anna (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján