Kezdőlap


Feladat:	Gy.2595	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1990/szeptember, 263 - 264. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/december: Gy.2595

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $k$ kör középpontját $O$ -val. Ha $A B = r$ , akkor az $A B O$ háromszög szabályos, tehát $D$ egybeesik $O$ -val, ezért az állítás ebben az esetben triviális.

A B < r

, akkor legyen

A C D ∢ = α

; feltételünkből következik, hogy

α < 60^{\circ}

. A

D A C

háromszög egyenlő szárú, ezért

C D A ∢ = α

és

D A C ∢ < 180^{\circ} - 2 α

, így

B A C ∢ = B A D ∢ + D A C ∢ = 60^{\circ} + (180^{\circ} - 2 α) = 240^{\circ} - 2 α

. Az

O B A C

négyszög deltoid, ezért az

O A

egyenes felezi a

B A C

szöget, vagyis

O A C ∢ = 120^{\circ} - α

. Az

O A C

és az

O E C

háromszögek egyenlő szárúak, ezért

O C A ∢ = O A C ∢ = 120^{\circ} - α

O E C ∢ = E C O ∢ = O C A ∢ - E C A ∢ = 120^{\circ} - 2 α

. Ezen háromszögek harmadik szögét is kifejezhetjük

α

segítségével:

A O C ∢ = 180^{\circ} - 2 (120^{\circ} - α) = 2 α - 60^{\circ}

E O C ∢ = 180^{\circ} - 2 (120^{\circ} - 2 α) = 4 α - 60^{\circ}

. Az

O A

egyenes a

B O C

szöget is felezi, ezért

B O C ∢ = 2 \cdot A O C ∢ = 2 (2 α - 60^{\circ}) = 4 α - 120^{\circ}

; vagyis

E O B ∢ = E O C ∢ - B O C ∢ = 4 α - 60^{\circ} - (4 α - 120^{\circ}) = 60^{\circ}

, tehát az

E O B

háromszög is szabályos.
Tekintsük a

B

pont körüli

+ 60^{\circ}

-os elforgatást. A

B D A

háromszög szabályos; ezért az elforgatásnál

D

képe

A

. A

B E O

háromszög is szabályos, ezért

E

képe

O

. Tehát az

E D

szakasz képe az

O A

szakasz. De

A O = r

, az elforgatás pedig távolságtartó, így

E D = r

.
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.