Kezdőlap


Feladat:	Gy.2591	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lente Gábor
Füzet:	1990/október, 308 - 309. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/december: Gy.2591

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a tízes számrendszerben fölírt $A$ szám számjegyeinek a szorzatát $P (A)$ . Ha az $n$ -jegyű $A$ szám első jegye $a$ $(n \geq 2)$ , akkor

\begin{matrix} A \geq a \cdot 10^{n - 1} . \end{matrix}

(1)

Ha az

A

további jegyei 9-esek, akkor

9 | P (A)

és így ha

\begin{matrix} A = 1, 5 \cdot P (A), \end{matrix}

(2)

akkor

9 | A

, amiből

9 | a

, azaz

a = 9

és

A = 10^{n} - 1

, de ekkor

1, 5 P (A)

nem egész szám. Így

A

további jegyei között van 9-nél kisebb is, tehát

P (A) \leq 8 \cdot 9^{n - 2} \cdot a

. Ezt (1)-gyel és (2)-vel összevetve

\begin{matrix} 1, 5 \cdot 8 \cdot 9^{n - 2} \geq 10^{n - 1}, \\ \frac{6}{5} \geq {(\frac{10}{9})}^{n - 2} . & (3) \end{matrix}

Mivel a jobb oldal

n

-ben monoton nő és

{(\frac{10}{9})}^{2} > \frac{6}{5}

, ezért (3)-ból

n - 2 \leq 1

, azaz

n \leq 3

.
Ha

n = 1

, akkor

A = 0

, ha

n = 2

, akkor

\begin{matrix} A = 10 a + b = 1, 5 a b . \end{matrix}

(4)

Innen

3 a b - 20 a - 2 b = 0

, ahonnan

\begin{matrix} b = \frac{20 a}{3 a - 2} = 6 + \frac{2 a + 12}{3 a - 2}, \end{matrix}

azaz

b \geq 7

. Ha

b = 7

, akkor

a > 9

, ha

b = 8

, akkor

a = 4

megoldás, ha pedig

b = 9

, akkor

a

nem egész.
Ha

n = 3

, akkor

A = 100 a + 10 b + c = 1, 5 a b c

, azaz

\begin{matrix} 200 a + 20 b + 2 c = 3 a b c, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 200 a < 3 a b c, tehát b c > 66. \end{matrix}

Így vagy

b = c = 9

, vagy

{b, c} = {9, 8}

.
Könnyen látható, hogy egyik esetben sem kapunk megoldást, ami azt jelenti, hogy a feladatnak két megoldása van:

A = 48

és

A = 0