Kezdőlap


Feladat:	Gy.2588	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szüts D.
Füzet:	1990/szeptember, 259 - 260. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lefedések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/november: Gy.2588

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő megmutatnunk, hogy a háromszög felosztható $\frac{865 - 1}{2} = 432$ olyan részre, amelyek mindegyike lefedhető egy $1$ átmérőjű zárt félkör-lemezzel, mivel akkor a $432$ rész közül legalább egyben legalább $3$ adott pontnak kell lenni.

1. ábra

Osszuk az eredeti háromszög mindegyik oldalát

12

egyenlő részre, majd az 1. ábrán látható módon kössük össze a megfelelő osztópontokat (két osztópontot pontosan akkor kötünk össze, ha összekötő szakaszuk párhuzamos a háromszög valamelyik oldalával). Az így keletkezett kis háromszögek egybevágóak egymással, és hasonlóak az eredeti háromszöghöz. Egy kis háromszög területe az eredeti háromszög területének

{(\frac{1}{12})}^{2} = \frac{1}{144}

része, tehát a felosztás során

144

darab kis háromszöget kapunk.

2. ábra

Minden egyes kis háromszöget bontsunk fel

3

egybevágó részre a 2. ábrán látható módon (a kis háromszögek átfogójának felező merőlegese és a

60^{\circ} -os

szögének felezője a hosszabbik befogót 1:2 arányban osztja, mert a kis háromszög egy szabályos háromszög egyik fele). Így végül

3 \cdot 144 = 432

db egybevágó derékszögű háromszöget kapunk. E háromszögek átfogójának hossza

1,

tehát lefedhetők egy

1

átmérőjű zárt félkörlemezzel.
Ezzel az állítást beláttuk.