|
Feladat: |
Gy.2587 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Deák A. , Faragó G. , Molnár-Sáska G. , Olaszi Zsolt , Rácz Hajnalka , Salamon A. , Szabó Ilona Csilla , Urbán Eszter |
Füzet: |
1990/május,
211 - 213. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Magasságvonal, Beírt kör, Hossz, kerület, Terület, felszín, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/november: Gy.2587 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyenek az háromszög beírt körének az oldalakon lévő érintési pontjai , és , a levágott kis háromszögek , és ; az és a beírt kör érintési pontja pedig (1. ábra). Jelöljük a kis háromszögek kerületét rendre , , -vel, az háromszög kerületét pedig -val.
1. ábra Mivel egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek, ezért . Ugyanígy bizonyíthatjuk, hogy és . Ezeket összeadva kapjuk, hogy . Másrészt az oldalak párhuzamossága miatt a levágott kis háromszögek hasonlóak az háromszöghöz, ezért a háromszögek beírt körének és kerületének aránya mind a négy háromszög esetén ugyanaz a valós szám: Ezeket felhasználva: | | ami éppen a bizonyítandó összefüggés.
II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit, továbbá jelöljük az háromszög magasságait rendre , , -vel. Az háromszög -hoz tartozó magassága ekkor (lásd a 2. ábrát).
2. ábra Az háromszög hasonló az háromszöghöz, ezért: Ugyanígy láthatjuk be, hogy: | | Ezekből: | | (1) |
Tehát elegendő megmutatnunk, hogy . Ha az háromszög területét jelöli, akkor az ismert területképletek alapján: vagyis: | | Tehát (1)ből következik, hogy .
Olaszi Zsolt (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
|
|