Kezdőlap


Feladat:	Gy.2587	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Deák A. , Faragó G. , Molnár-Sáska G. , Olaszi Zsolt , Rácz Hajnalka , Salamon A. , Szabó Ilona Csilla , Urbán Eszter
Füzet:	1990/május, 211 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Magasságvonal, Beírt kör, Hossz, kerület, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/november: Gy.2587

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek az $A B C$ háromszög beírt körének az oldalakon lévő érintési pontjai $E$ , $F$ és $G$ , a levágott kis háromszögek $A A_{1} A_{2}$ , $B B_{1} B_{2}$ és $C C_{1} C_{2}$ ; az $A_{1} A_{2}$ és a beírt kör érintési pontja pedig $H$ (1. ábra). Jelöljük a kis háromszögek kerületét rendre $k_{A}$ , $k_{B}$ , $k_{C}$ -vel, az $A B C$ háromszög kerületét pedig $k$ -val.

1. ábra

Mivel egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek, ezért

k_{A} = A A_{1} + A A_{2} + A_{1} H + A_{2} H = A A_{1} + A_{1} E + A A_{2} + A_{2} G = A E + A G

. Ugyanígy bizonyíthatjuk, hogy

k_{B} = B E + B F

és

k_{C} = C G + C F

. Ezeket összeadva kapjuk, hogy

k_{A} + k_{B} + k_{C} = k

. Másrészt az oldalak párhuzamossága miatt a levágott kis háromszögek hasonlóak az

A B C

háromszöghöz, ezért a háromszögek beírt körének és kerületének aránya mind a négy háromszög esetén ugyanaz a

t

valós szám:

\begin{matrix} \frac{ϱ}{k} = \frac{ϱ_{1}}{k_{A}} = \frac{ϱ_{2}}{k_{B}} = \frac{ϱ_{3}}{k_{C}} = t . \end{matrix}

Ezeket felhasználva:

\begin{matrix} ϱ_{1} + ϱ_{2} + ϱ_{3} = t k_{A} + t k_{B} + t k_{C} = t (k_{A} + k_{B} + k_{C}) = t k = ϱ; \end{matrix}

ami éppen a bizonyítandó összefüggés.

II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit, továbbá jelöljük az

A B C

háromszög magasságait rendre

m_{a}

m_{b}

m_{c}

-vel. Az

A A_{1} A_{2}

háromszög

A

-hoz tartozó magassága ekkor

m_{a} - 2 ϱ

(lásd a 2. ábrát).

2. ábra

A A_{1} A_{2}

háromszög hasonló az

A B C

háromszöghöz, ezért:

\begin{matrix} \frac{ϱ_{1}}{ϱ} = \frac{m_{a} - 2 ϱ}{m_{a}} . \end{matrix}

Ugyanígy láthatjuk be, hogy:

\begin{matrix} \frac{ϱ_{2}}{ϱ} = \frac{m_{b} - 2 ϱ}{m_{b}} és \frac{ϱ_{3}}{ϱ} = \frac{m_{c} - 2 ϱ}{m_{c}} . \end{matrix}

Ezekből:

\begin{matrix} ϱ_{1} + ϱ_{2} + ϱ_{3} = ϱ (3 - \frac{2 ϱ}{m_{a}} - \frac{2 ϱ}{m_{b}} - \frac{2 ϱ}{m_{c}}) . \end{matrix}

(1)

Tehát elegendő megmutatnunk, hogy

\frac{2 ϱ}{m_{a}} + \frac{2 ϱ}{m_{b}} + \frac{2 ϱ}{m_{c}} = 2

. Ha az

A B C

háromszög területét

T

jelöli, akkor az ismert területképletek alapján:

\begin{matrix} 2 T = k ϱ = a \cdot m_{a} = b \cdot m_{b} = c \cdot m_{c}, \end{matrix}

vagyis:

\begin{matrix} \frac{ϱ}{m_{a}} + \frac{ϱ}{m_{b}} + \frac{ϱ}{m_{c}} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k} + \frac{c}{k} = \frac{a + b + c}{k} = 1. \end{matrix}

Tehát (1)ből következik, hogy

ϱ_{1} + ϱ_{2} + ϱ_{3} = ϱ (3 - 2) = ϱ

Olaszi Zsolt (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján