Kezdőlap


Feladat:	Gy.2585	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Harcos Gergely
Füzet:	1990/november, 390. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Számelrendezések, Részhalmazok, Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/november: Gy.2585

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy bármely $8$ szomszédos egész szám felosztható két, egyenként négytagú csoportba úgy, hogy az egyes csoportokban a számok négyzetösszege egyenlő. Ebből a feladat megoldása már következik, ha az első $1000$ négyzetszámot $125$ darab $8$ -as csoportra osztjuk, és az egyes csoportokon belül végezzük el a megfelelő felosztást.
A bevezetőben kimondott állítás pedig az alábbi azonosságból adódik:

\begin{matrix} x^{2} + {(x + 3)}^{2} + {(x + 5)}^{2} + {(x + 6)}^{2} = {(x + 1)}^{2} + {(x + 2)}^{2} + {(x + 4)}^{2} + {(x + 7)}^{2} . \end{matrix}

A fentiek alapján egy lehetséges beosztás például a következő:

\begin{matrix} az első csoportba kerüljenek a 8 k + 1, 8 k + 4, 8 k + 6 és a 8 k + 7, \\ a másodikba pedig a 8 k + 2, 8 k + 3, 8 k + 5 és a 8 k + 8 \end{matrix}

alakú számok, ahol

k = 0

1

2

...

124

.
Megjegyzés. Látható, hogy így mindkét csoportba ugyanannyi, 500-500 darab szám kerül, és az is ellenőrizhető, hogy azoknak a számoknak az összege, amelyek négyzetei az egyes csoportokba kerültek, ugyancsak egyenlő: a felosztás ebben az értelemben ,,igen szabályosnak'' mondható.