Kezdőlap


Feladat:	Gy.2584	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Katz Sándor , Koós G. , Kovács F. , Marincsák Ilona
Füzet:	1990/május, 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/november: Gy.2584

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a négy prímszám $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ és $p_{4}$ . Ekkor a feltétel szerint

\begin{matrix} p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2} + p_{4}^{2} = 476. \end{matrix}

Egy négyzetszám 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad. A 476 maradéka 3-mal osztva 2, így a bal oldali összegnek pontosan 2 tagja osztható 3-mal, és mivel prímszámok, így

p_{1} = 3

és

p_{2} = 3

, amiből

\begin{matrix} p_{3}^{2} + p_{4}^{2} = 458. \end{matrix}

Legyen

p_{3} ≦ p_{4}

. Ekkor

p_{4}^{2} ≧ 229

, így

p_{4} > 15

, másrészt

p_{4}^{2} < 458

, ezért

p_{4} ≦ 21

. Mivel a

p_{4}

prímszám, ezért az értéke csak 17 vagy 19 lehet. Ha

p_{4} = 17

, akkor

p_{3} = 13

; ha

p_{4} = 19

, akkor

p_{3}

nem lenne egész. Tehát

p_{1} = 3

p_{2} = 3

p_{3} = 13

p_{4} = 17

, ezek szorzata pedig 1989.

Katz Sándor (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., I. o. t.)