A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Írjuk számainkat egy 13 oldalú konvex sokszög csúcsaira, rajzoljuk meg a sokszög 1312=78 átlóját és oldalát, és közülük színezzük pirosra mindazokat, amelyekről tudjuk, hogy a végpontjaira írt számok összege egész. Ábránkon a feltétel szerint így 11 darab nem piros szakasz van. Szemeljünk ki ezután a számok közül kettőt, jelölje őket ‐ és a sokszög megfelelő csúcsait is ‐ és , a további 11 darab számot és a megfelelő csúcsokat , , , . Megadunk 12 olyan, az -ból a -be ‐ a megrajzolt élek mentén ‐ haladó útvonalat, hogy semelyik kettőnek nincs közös szakasza. Ezek az , , , , végül az . Mivel összesen 11 nem piros él van, a fenti útvonalak között van olyan, amelynek minden egyes szakasza piros. Ha ez maga az , akkor készen vagyunk, egész. Ha pedig az (ahol ) útvonal szakaszai pirosak, akkor miatt ismét azt kapjuk, hogy a kiszemelt számok összege, egész. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Megjegyzések. 1. Hasonlóan igazolható, hogy ha és adott valós számból készíthető darab összeg közül darabról tudjuk, hogy egész, akkor ebből következik, hogy valamennyi kéttagú összeg egész. Az, hogy maguk a számok is egészek, természetesen nem következik a feltételből, amelyik nyilván teljesül, ha például valamennyi megadott szám értéke 1/2. 2. A feladat állítása nem igaz, ha vagy , ahogy a {8, 1; 0, 1; 0, 9}, illetve a {8, 1; 0, 1; 10, 9; 0, 9}, példák mutatják. A bizonyításból is kiolvasható, hogy a -típusú pontokból legalább háromra van szükség. 3. A feladat állítása nyilván éles. Ha csak 66 ‐ illetve általában ‐ összegről tudjuk, hogy egész, akkor ez lehetséges úgy, hogy az darab szám közül egész, egy pedig nem az. 4. A fenti bizonyítás során lényegében arra volt szükségünk, hogy ha és egy pontú gráfnak éle van, akkor a gráf bármely két pontja között vezet páratlan hosszú út.
II. megoldás. Néhány gráfelméleti alapfogalom és a rájuk vonatkozó elemi ismeretek birtokában másik megoldás is készíthető. Legyen , és adott darab valós szám, melyekről tudjuk, hogy a belőlük készíthető kéttagú összegek közül egész. Készítsük el az első megoldás gráfját ‐ a piros élekből. Ismeretes, hogy egy pontú összefüggő gráfnak legalább éle van, másfelől, hogy bármely gráf és a komplementere közül legalább az egyik összefüggő. Mivel most komplementerének éle van, így nem lehet összefüggő; tehát a gráf az. Ez azt jelenti, hogy a gráf bármely két csúcsa között vezet út. Ha ennek a hossza páratlan, akkor az első megoldás szerint az út kezdő és végpontjához írt számok összege egész, ha pedig páros, akkor hasonlóan kapjuk, hogy egész szám. Helyettesítsük most mindegyik számot a törtrészével, ez az összegek egész, vagy nem egész voltát nem befolyásolja. Szemeljünk ki egy tetszőleges csúcsot, legyen a ráírt szám . Ekkor . Ha , akkor persze a többi csúcsokon is egész számok állnak, ha pedig , akkor minden más csúcson vagy , vagy pedig áll. Megmutatjuk, hogy ekkor , azaz mindegyik számnak 1/2 a törtrésze. Tegyük fel, hogy ez nem így van, és osszuk két csoportba a csúcsait aszerint, hogy vagy van-e rájuk írva: Ha az első csoportba csúcs került, akkor . ( nem lehetséges, mivel akkor egyetlen éle sem volna a gráfnak.) Feltevésünk szerint , így az egyes csoportokon belül nem haladhat éle a -nek, hisz máskülönben , vagy miatt . Így viszont a gráfnak legfeljebb darab éle lehet. Ez az érték azonban kisebb a élei számánál, ugyanis esetén . |