Feladat: Gy.2582 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi Gergely 
Füzet: 1990/szeptember, 260 - 261. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/november: Gy.2582

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje az x, 1y, y+1x mennyiségek legkisebbikét m(x,y). Ekkor

0<m(x,y)≦x;(1)0<m(x,y)≦1y;(2)0<m(x,y)≦y+1x.(3)
(1)-böl és (2) ből kapjuk, hogy
1x≦1m(x,y),  illetve  y≦1m(x,y),
ezért
y+1x≦2m(x,y).
Ezt (3)-mal egybevetve
m(x,y)≦2m(x,y),
ahonnan m(x,y)>0 miatt m(x,y)≦2 adódik. Az x; 1y; y+1x értékek legkisebbike tehát nem lehet 2-nél nagyobb. Egyenlőség lehetséges, amennyiben (1), (2), (3)-ban egyidejűleg egyenlőség áll, azaz x=1y=2. Ekkor y+1x=12+12=22=2 és így a keresett érték a 2.
 

Dombi Gergely (Pécs, JPTE I. sz. Gyak. Ált. Isk., 7. o. t.)

 

II. megoldás. Az u=1y jelöléssel az (x,u,1x+1u) mennyiségek minimumát keressük. Jelöljük általában az (α1, α2, ..., αn) számok minimumát m(α1, α2, ..., αn)-nel. Ekkor nyilván
m(x,u,1x+1u)=m(m(x,u);1x+1y).
Két pozitív szám kisebbike nem lehet nagyobb, mint az ismert módokon képezett középértékeik. Vegyük először a harmonikus közepüket:
m(x,u)≦21x+1u,tehát

m(x,u,1x+1u)≦m(21x+1u,1x+1y).
Ezután azt használjuk ki, hogy két pozitív szám minimuma nem nagyobb a mértani közepüknél; így
m(x,u,1x+1u)≦m(21x+1u,1x+1u)≦21x+1u(1x+1u)=2.
Tehát
m(x,u,1x+1u)≦2,
és pontosan akkor van egyenlőség, ha x=u=1x+1u, azaz x=u=2.
 

Megjegyzés. Mindkét megoldás gondolatmenetével igazolható, hogy ha a x1, x2, ..., xn tetszőleges pozitív számok, akkor az x1, x2, ..., xn, 1x1+1x2+...+1xn számok minimuma nem lehet nagyobb, mint n és pontosan akkor ennyi, ha x1=x2=...=xn=n.
Hasonlóan igazolható, hogy a pozitív x1, x2, ..., xn, 1x1+1x2+...+1xn számok legnagyobbika legalább n.