Kezdőlap


Feladat:	Gy.2581	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csetneki Csilla , Molnár-Sáska Gábor
Füzet:	1990/szeptember, 256 - 257. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/október: Gy.2581

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük az $A B C D$ tetraéder beírt gömbjének középpontját $O$ -val, a beírt gömbnek a lapon levő érintési pontjait pedig $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ , $E_{4}$ -gyel (1. ábra). Tekintsük az érintési pontok által meghatározott tetraéder egyik élét. Ennek két végpontja az eredeti tetraéder két lapjára illeszkedik. Megmutatjuk, hogy ennek a két lapnak a közös éle merőleges a kis tetraéder kiválasztott élére. (Az 1. ábra jelölései szerint tehát pl. $E_{1} E_{2}$ merőleges $A C$ -re.)

1. ábra

Tudjuk, hogy egy gömb érintősíkja merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. Ezért

O E_{1}

merőleges az

A B C

síkra. Ha viszont egy egyenes merőleges egy síkra, akkor annak minden egyenesére is merőleges, tehát

O E_{1} ⊥ A C

. Hasonlóan

O E_{2}

merőleges az

A D C

síkra, tehát

O E_{2} ⊥ A C

. Vagyis

A C

O E_{1} E_{2}

sík két nem párhuzamos egyenesére is merőleges, amiből következik, hogy

A C

merőleges e sík minden egyenesére, tehát az

E_{1} E_{2}

egyenesre is.

II. megoldás Használjuk az I. megoldás jelöléseit. Ismét azt mutatjuk meg, hogy

A C

merőleges

E_{1} E_{2}

-re.

2. ábra

A E_{1}

és az

A E_{2}

szakaszok egyenlőek, mert mindkettő az

A

pontból a beírt gömbhöz húzott érintőszakasz. Ugyanezért

C E_{1} = C E_{2}

. Vagyis az

A C E_{1}

és az

A C E_{2}

háromszögek megfelelő oldalai egyenlőek, tehát a két háromszög egybevágó. Mivel a két háromszögben az

A

és a

C

csúcs közös, ezért az

A C

oldalhoz tartozó magasságok talpponja is közös. Jelöljük ezt a pontot

T

-vel (2. ábra). Ekkor

A C ⊥ E_{1} T

és

A C ⊥ E_{2} T

, tehát az

A C

egyenes merőleges az

E_{1} E_{2} T

sík két nem párhuzamos egyenesére, ezért merőleges e sík bármely egyenesére, így

E_{1} E_{2}

-re is.

Csetneki Csilla (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján.