A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük az tetraéder beírt gömbjének középpontját -val, a beírt gömbnek a lapon levő érintési pontjait pedig , , , -gyel (1. ábra). Tekintsük az érintési pontok által meghatározott tetraéder egyik élét. Ennek két végpontja az eredeti tetraéder két lapjára illeszkedik. Megmutatjuk, hogy ennek a két lapnak a közös éle merőleges a kis tetraéder kiválasztott élére. (Az 1. ábra jelölései szerint tehát pl. merőleges -re.)
1. ábra Tudjuk, hogy egy gömb érintősíkja merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. Ezért merőleges az síkra. Ha viszont egy egyenes merőleges egy síkra, akkor annak minden egyenesére is merőleges, tehát . Hasonlóan merőleges az síkra, tehát . Vagyis az sík két nem párhuzamos egyenesére is merőleges, amiből következik, hogy merőleges e sík minden egyenesére, tehát az egyenesre is. II. megoldás Használjuk az I. megoldás jelöléseit. Ismét azt mutatjuk meg, hogy merőleges -re.
2. ábra Az és az szakaszok egyenlőek, mert mindkettő az pontból a beírt gömbhöz húzott érintőszakasz. Ugyanezért . Vagyis az és az háromszögek megfelelő oldalai egyenlőek, tehát a két háromszög egybevágó. Mivel a két háromszögben az és a csúcs közös, ezért az oldalhoz tartozó magasságok talpponja is közös. Jelöljük ezt a pontot -vel (2. ábra). Ekkor és , tehát az egyenes merőleges az sík két nem párhuzamos egyenesére, ezért merőleges e sík bármely egyenesére, így -re is.
Csetneki Csilla (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján.
|