Kezdőlap


Feladat:	Gy.2572	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1990/április, 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szabályos sokszögek geometriája, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/szeptember: Gy.2572

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a 18-szög négy szomszédos csúcsát $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel, a köré írt kör középpontját $O$ -val, az $A D$ átlónak az $O B$ , illetve $O C$ egyenessel való metszéspontját pedig $E$ -vel, illetve $F$ -fel.

Mivel a 18-szög szabályos, ezért

A O B ∢ = B O C ∢ = C O D ∢ = \frac{360^{\circ}}{18} = 20^{\circ}

. Így

A O D ∢ = 60^{\circ}

, vagyis

A O D

szabályos háromszög, ezért

A D = A O = 1

. A középponti és kerületi szögek tétele alapján

B A D ∢ = \frac{1}{2} B O D ∢ = 20^{\circ}

. Mivel a

B A E

és az

A O B

háromszögekben két szög megegyezik,

B A E ∢ = A O B ∢ = 20^{\circ}

, az

A B O

szög pedig közös, a két háromszög hasonló. Ezért a két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik:

\begin{matrix} \frac{E B}{A B} = \frac{A B}{A O}, E B = \frac{A B^{2}}{A O} = \frac{a^{2}}{1} = a^{2}; & (1) \\ \frac{A E}{A B} = \frac{A O}{B O} = 1, A E = A B = a . & (2) \end{matrix}

A hasonlóság következtében az

A E B

háromszög is egyenlő szárú, ezért

A E B ∢ = A B E ∢ = 80^{\circ}

. Azonban

A E B ∢ = O E F ∢

miatt az

O E F

háromszög szögei

20^{\circ}

80^{\circ}

80^{\circ}

, vagyis az

O E F

háromszög is hasonló az

O A B

háromszöghöz. Az

O E F

háromszög oldalait (1) és (2) segítségével határozhatjuk meg:

O E = O B - E B = 1 - a^{2}

, valamint

E F = A D - A E - F D = A D - 2 \cdot A E = 1 - 2 a

. A megfelelő oldalak arányát felírva:

\begin{matrix} \frac{O A}{A B} = \frac{O E}{E F}, azaz \frac{1}{a} = \frac{1 - a^{2}}{1 - 2 a}, \end{matrix}

és rendezés után éppen a bizonyítandó

a^{3} = 3 a - 1

összefüggést kapjuk.