Kezdőlap


Feladat:	Gy.2569	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1990/február, 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/szeptember: Gy.2569

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha egy törtre fennáll hogy

\begin{matrix} \frac{99}{100} < \frac{p}{q} < \frac{100}{101}, \end{matrix}

(1)

akkor a tört nevezője legalább 100+101, a nevezők összege. Szorozzuk meg ehhez az (1) egyenlőtlenségeket a nevezők szorzatával:

\begin{matrix} 99 \cdot 101 q < 100 \cdot 101 p < 100^{2} q . \end{matrix}

(2)

Az első két szám 101 többszöröse, így eltérésük legalább 101; hasonlóan a második két szám eltérése legalább 100. Így

\begin{matrix} 100^{2} q - 99 \cdot 101 q ≧ 100 + 101 = 201. \end{matrix}

(3)

A (3) egyenlőtlenség bal oldalán éppen

\begin{matrix} (100^{2} - 99 \cdot 101) q = q \end{matrix}

áll, és így a bizonyítandó állítást kapjuk.
Meg kell még mutatnunk, hogy létezik olyan 201 nevezőjű tört, amelyre (1) fennáll. Mivel

\begin{matrix} \frac{99}{100} = \frac{198}{200} és \frac{100}{101} = \frac{200}{202} és \frac{198}{200} < \frac{199}{201} < \frac{200}{202}, \end{matrix}

ezért

p = 199

választással teljesül (1), ha

q = 201

,
A keresett tört tehát a

\frac{199}{201}

(Ez az egyetlen 201 nevezőjű tört felel csak meg a feltételeknek, hiszen két ilyen tört különbsége legalább

\frac{1}{201}

, és

\frac{100}{101} - \frac{99}{100} = \frac{1}{100.101} < \frac{1}{201}

)