Kezdőlap


Feladat:	Gy.2568	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Marton Tamás
Füzet:	1990/február, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/szeptember: Gy.2568

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet jobb oldala pozitív, így $x > y > 0$ . A bal oldalon

\begin{matrix} x^{3} - y^{3} = {(x - y)}^{3} + 3 x y (x - y) > {(x - y)}^{3} + x y, \end{matrix}

(2)

így

{(x - y)}^{3} < 61

.
Ez azt jelenti, hogy

0 < x - y < 4

.
Az egyenlet és a (2) azonosság szerint innen

\begin{matrix} x y = \frac{61 - {(x - y)}^{3}}{3 (x - y) - 1} . \end{matrix}

(3)

x - y = 2

vagy

x - y = 3

, akkor (3) jobb oldala nem egész

(\frac{53}{5}, ill. \frac{34}{8})

. Ha

x - y = 1

, akkor (3)-ból

x y = 30

.
Így

x

és

- y

gyökei a

\begin{matrix} t^{2} - t - 30 = 0 \end{matrix}

egyenletnek. Szorzattá alakítva:

\begin{matrix} t^{2} - t - 30 = (t + 5) (t - 6), \end{matrix}

tehát a gyökök

- 5

és

6

. Mivel

x

és

y

pozitív számok, az egyetlen megoldás

x = 6

és

y = 5

Marton Tamás (Paks, Paksi Atomerőmű Műszaki Szakközépiskola, I. o. t.)