Kezdőlap


Feladat:	Gy.2565	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Virág Bálint
Füzet:	1990/február, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Térfogat, Szabályos testek, Szabályos sokszögek által határolt testek, Gömb és részei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/május: Gy.2565

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a gömbök középpontjait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ -fel. Tudjuk, hogy két gömb pontosan akkor érinti egymást, ha középpontjaik távolsága megegyezik a sugaraik összegével, esetünkben 2 egységgel.

Feltehetjük, hogy például az

A

és az

F

közepű gömbök nem érintik egymást. Ekkor mindkettő érinti a

B

C

D

E

középpontú gömbök mindegyikét. Tehát a

B

C

D

E

pontok mind az

A

, mind az

F

ponttól 2 egység távolságra vannak, azaz rajta vannak az

A

és az

F

köré írt

2

egység sugarú gömbök közös részén, ami egy kör. Tehát a

B C D E

négyszög húrnégyszög, amelynek minden oldala 2 egység. Ilyen húrnégyszög viszont csak egy van, a négyzet. Tehát

B C D E

négyzet. Az

A

és az

F

pontok a négyzet minden csúcsától egyenlő távolságra vannak, vagyis illeszkednek a négyzet középpontján átmenő, a négyzet síkjára merőleges egyenesre. Mivel

A B = B C

és

F B = B C

, ezért az

A

és

F

pontok

B

C

D

E

-vel együtt egy szabályos oktaédernek a csúcsai. Megfordítva könnyen látható, hogy egy 2 egységnyi élhosszúságú szabályos oktaéder csúcsai köré rajzolt hat darab (egységsugarú) gömb mindegyike pontosan négy másikat érint.

Az érintési pontok által meghatározott test tehát a 2 egység oldalú szabályos oktaéder oldalfelező pontjai által meghatározott konvex testtel azonos. Ezt a testet úgy is megkaphatjuk, hogy az oktaéderből minden csúcsánál levágunk egy olyan négyzet alapú gúlát, amelynek minden éle 1 egység. A keresett térfogat tehát (a Függvénytáblázat megfelelő térfogatképleteit használva):

\begin{matrix} V = \frac{\sqrt[]{2}}{3} \cdot 2^{8} - \frac{6 \cdot (\frac{\sqrt[]{2}}{3} \cdot 1^{3})}{2} = \frac{5}{3} \sqrt[]{2} térfogategység . \end{matrix}

Virág Bálint (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján