A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az adott háromszög csúcsait és oldalait a szokásos módon , , , illetve , , -vel. Az -ból induló belső, illetve külső szögfelezőnek a egyenessel való metszéspontja legyen , illetve . Az szakaszra mint átmérőre rajzolt kör legyen . Hasonló módon kapjuk a és köröket. Ismeretes (lásd pl.: Geometriai feladatok gyűjteménye I.), hogy a és pontokhoz és a arányhoz tartozó Apollóniusz-kör, vagyis azoknak a pontoknak a mértani helye, amelyekre . Hasonlóan a , illetve a azon , illetve pontok mértani helyei, melyekre , illetve . Tekintsük a és körök és metszéspontjait, (Később megmutatjuk, hogy ez a két metszéspont mindig létezik.) Ezekre: Tehát vagyis ez a két pont rajta van -n is. Tehát a szakasz mind a három körnek húrja. Ez azt jelenti, hogy a szakasz felező merőlegesén mind a három körnek a középpontja rajta van. E három középpont pedig éppen a feladatunkban szereplő három pont.
Azt kell még megmutatnunk, hogy a három kör közül valamelyik kettő metszi egymást. Feltehetjük, hogy a háromszög legkisebb szöge. Ekkor a oldal -n túli, pedig a oldal -n túli meghosszabbításán van, vagyis az , pedig az átmérőn. Tehát (a körvonal egyik pontja) belső pontja -nak. (a egyik pontja) pedig belső pontja -nek. Ebből nyilvánvalóan következik, hogy a és körök metszik egymást. Ezzel a feladatot megoldottuk. Nagy Judit (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján
|