Feladat: Gy.2562 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1990/április, 161. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/május: Gy.2562

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy nincs ilyen pont.
A szabályos hétszög átlói két osztályba sorolhatók: a rövid átlók másodszomszédos, a hosszú átlók pedig harmadszomszédos csúcsokat kötnek össze. Tegyük fel, hogy van három darab, egy belső ponton átmenő átló. E három átló közt nem lehet rövid átló, mert minden rövid átló egy háromszöget vág le a hétszögből (1. ábra), és az illető rövid átlót belső pontban csak azok az átlók metszik, amelyek a rövid átló által levágott háromszög harmadik csúcsából indulnak ki, ennélfogva nem a rövid átlón metszik egymást.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

Így már csak három hosszú átló mehetne át egy belső ponton. E három hosszú átló a négyszögnek összesen hat csúcsát tartalmazza. Jelöljük a csúcsokat a 2. ábrán látható módon. A D csúcson a három átló egyike sem megy át. Ekkor a BF és a CG átlók metszéspontja az ED szakasz felező merőlegesén van, hiszen BF és GC egymás tükörképei erre az egyenesre nézve. A felező merőleges átmegy A-n, de nem megy át E-n, tehát az AE átló nem mehet át BF és GC metszéspontján. Ez az ellentmondás bizonyítja állításunkat.
 

Megjegyzés.
A 7 "hosszú átló'' közül bármelyik kettő átmegy egymásba a 2π/7 szöggel való forgatás elég sokszori ismétlésével. Együtt szabályos csillaghétszöget alkotnak.