|
Feladat: |
Gy.2561 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bakós T. , Bánfalvi Koppány , Barabás Gy. , Barát J. , Boncz A. , Erben P. , Győry M. , Hajnal 666 J. , Harcos G. , Horváth I. , Imreh Cs. , István Gy. , Jakab Cs. , Káli Sz. , Katz S. , Keresztély T. , Klein P. , Koncz L. , Kórász T. , Lente G. , Megyesi Z. , Mikulás I. , Molnár-Sáska G. , Nagy Judit , Németh S. , Patócs B. , Ratkó Éva , Risbjerg Anna , Sándor Gy. , Szalkai Á. , Tóth 875 Cs. , Varga D. , Varjú Katalin |
Füzet: |
1990/március,
117 - 118. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szorzat, hatványozás azonosságai, Függvények, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/május: Gy.2561 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. | | (1) |
I. megoldás. Jelölje a feladatban szereplő kétváltozós függvényt . Könnyen látható, hogy | | Innen leolvasható, hogy ha , akkor az (1) egyenlőség teljesül. Megmutatjuk, hogy és esetén sem , sem pedig nem lehetséges. Mivel , azért , így ha , akkor Tehát | | azaz ami nem lehet, hiszen . Hasonlóan az ellentmondásra vezet a feltevés is, tehát csak 1 lehet. II. megoldás. Az I. megoldásban láttuk, hogy esetén valóban . Megmutatjuk, hogy ez csak esetén lehetséges. Legyen rögzített. Ekkor | | pozitív -ekre az -nek szigorúan monoton növő páratlan polinomja, így minden függvényértéket pontosan egy helyen vesz föl. Mivel láttuk, hogy az helyen (-re) , ezért (1)-ből valóban következik, ha és pozitív. Bánfalvi Koppány (Szentendre, Móricz Zs. Gimn., II. o. t.) III. megoldás. -nak az első megoldásban felírt alakjából kiindulva szorozzuk meg az (1) egyenlőség mindkét oldalát -nal, és rendezzünk nullára. Így | | Csoportosítás után szorzattá alakítva a bal oldalon | | adódik. A második tag második tényezőjéből ugyancsak kiemelhető , és így a következő alakot kapjuk: | | (2) | Látható, hogy ha , akkor (2) második tényezője pozitív, így (1)-ből valóban következik. Megjegyzés. Nem hagyható el a feladat feltételei közül az a követelmény, hogy és pozitívak (ill. az ennél gyengébb egyenlőtlenség). Rögzített mellett ugyanis (2) második tényezője -nek ötödfokú polinomja, amelynek létezik valós gyöke, és az többnyire nem .
|
|