Feladat: Gy.2559 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Ratkó Éva 
Füzet: 1990/január, 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/május: Gy.2559

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggés alapján

x1x2=1-bésx1+x2=-a,
ahol x1 és x2 jelöli az egyenlet gyökeit.
Innen
a2+b2=(x1+x2)2+(1-x1x2)2.

A jobb oldalon a két négyzet összege most szorzattá alakítható:
(x1+x2)2+(1-x1x2)2=(1+x12)(1+x22).
Ha b≠1, akkor x1x2≠0, vagyis a fenti szorzat tényezői nagyobbak 1-nél és a feltétel szerint egész számok. Ez azt jelenti, hogy a2+b2 valóban összetett (egész) szám.
 

 Ratkó Éva (Bp., Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)