Feladat: Gy.2556 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1990/január, 19 - 20. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Háromszögek nevezetes tételei, Négyzetek, Vektorok felbontása összetevőkre, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/április: Gy.2556

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen M a BC szakaszra mint átfogóra emelt egyenlő szárú derékszögű háromszög harmadik csúcsa A félsíkjában. Megmutatjuk, hogy ez az M pont mindig felezi a PS szakaszt.

 
 

A BC szakasz F felezőpontjából az A, illetve a C pontokba mutató vektorok legyenek a és c. Ha egy tetszőleges v vektor +90∘-os elforgatottját v' jelöli, akkor azt kell megmutatnunk, hogy 12(FP→+FS→)=c'. (Feltehetjük, hogy az ABC háromszög az ábrával megegyező módon pozitív körüljárású.) Fejezzük ki az FP→ és FS→ vektorokat a és c segítségével:
FP→=FC→+CP→=c+AC→=c+(c-a)'=c+c'-a',FS→=FB→+BS→=-c+BA'→=-c+(a-(-c))'=-c+a'+c'.


(Számolás közben felhasználtuk, hogy az összegvektor elforgatottja megegyezik a tagok elforgatottjainak összegével, és egy vektor skalárszorosának elforgatottja megegyezik a vektor elforgatottjának skalárszorosával.)
E két egyenlőséget összeadva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.
 

Megjegyzés. Miután már tudjuk, hogy hol van az M pont, nem nehéz bebizonyítani, hogy az mindig felezi a PS szakaszt. A feladat megoldásának első ‐ és talán nehezebb része megsejteni azt, hogy melyik ponton mennek át a PS egyenesek. Ez például a következő módon történhet: A keresett pontnak rajta kell lennie a BC szakasz felező merőlegesén, mert ha az A pontot tükrözzük erre az egyenesre, akkor a tükörképéhez ‐ az A'BC háromszöghöz ‐ tartozó P'S' egyenes a PS egyenest a BC felező merőlegesén metszi. Ezután már elegendő A-nak egy speciális helyzetét kiválasztani, s az ehhez az ABC háromszöghöz tartozó PS egyenes kimetszi BC felező merőlegeséből a keresett pontot. A legegyszerűbb helyzet az, amikor ABC éppen a BC átmérőjű egyenlő szárú derékszögű háromszög. Könnyen látható, hogy ekkor PS éppen A-ban metszi BC felező merőlegesét.