Feladat: Gy.2551 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1990/március, 115. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Euklideszi algoritmus, Szakaszos tizedestörtek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/április: Gy.2551

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy van olyan A egész szám, melyre A1989 tizedestört alakja négy darab szomszédos 9-es számjegyet tartalmaz valahol a tizedesvessző után. Ekkor egy alkalmas tízhatványra 10k⋅A1989 tizedestört alakjában

 

közvetlenül a tizedesvessző után áll négy darab 9-es, e hányados törtrésze tehát legalább 0,9999. Ez azonban lehetetlen, hiszen egy egész számot 1989-cel osztva a hányados törtrésze legfeljebb 19881989<0,9995.
 

Megjegyzés. Az természetesen nem igaz, hogy A1989 tizedestört alakjában egyáltalán nem fordulhat elő négy szomszédos 9-es. Ha például A=9⋅1989+1988=19889, akkor A1989=9,9994972... .
 

II. megoldás. Az A1989 hányadosban a tizedesvessző utáni jegyeket úgy kapjuk, hogy az első osztási lépés R maradékának 10-szeresét maradékosan osztjuk 1989-cel.
Ha 10R=q⋅1989+r, ahol 0≤r<1989, akkor a hányados következő jegye q, az eljárást pedig az r maradékkal folytatjuk, ha az nem 0.
Ha, a hányados valamelyik jegye 9-es (azaz q=9), akkor R<1989 miatt a fenti összefüggésből
r=10R-9⋅1989=1989-10(1989-R).
Ha k darab 9-est kapunk egymás után, akkor a k-adik lépés utáni rk maradékra
0≤rk=1989-10k(1989-R)≤1989-10k,
ami negatív, ha 10k>1989. Így legfeljebb három egymás utáni lépésben kaphatjuk a 9-es számjegyet a hányadosban.
 

Megjegyzés. 1. Mindkét megoldás gondolatmenetével igazolható, hogy ha b egy n-jegyű szám, akkor tetszőleges pozitív egész a-ra a tizedesvessző után sehol nem állhat n darab szomszédos 9-es az ab hányados tizedestört alakjában.
 

2. Ismeretes, hogy a racionális számok tizedestört alakja periodikus, jegyeit pedig a II. megoldásban is használt jól ismert osztási eljárással kapjuk. A fentiekből következik, hogy ez az állítás ebben a formában nem fordítható meg: vannak olyan periodikus tizedestörtek, amelyek nem kaphatók meg osztási eljárással; éspedig pontosan azok, amelyekben a tizedesvessző után egy helytől kezdve csupa 9-es áll.