Kezdőlap


Feladat:	Gy.2550	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1990/március, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Komplex számok konjugáltja, Partíciós problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/április: Gy.2550

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A = a_{1}^{2} + 2 a_{2}^{2}$ , $B = b_{1}^{2} + 2 b_{2}^{2}$ két érdekes szám. Ekkor

\begin{matrix} A B = a_{1}^{2} b_{1}^{2} + 2 a_{1}^{2} b_{2}^{2} + 2 a_{2}^{2} b_{1}^{2} + 4 a_{2}^{2} b_{2}^{2} = \\ = (a_{1}^{2} b_{1}^{2} + 4 a_{2}^{2} b_{2}^{2}) + 2 (a_{1}^{2} b_{2}^{2} + a_{2}^{2} b_{1}^{2}) . \end{matrix}

A két teljes négyzetből

4 a_{1} b_{1} a_{2} b_{2}

"hiányzik''. Ezt az összeg első tagjához hozzáadva, a másodikból pedig kivonva az

\begin{matrix} A B = {(a_{1} b_{1} + 2 a_{2} b_{2})}^{2} + 2 {(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}^{2} \end{matrix}

felbontást kapjuk, tehát az

A B

szorzat is érdekes.

Megjegyzések: 1. Ha a "korrekciós''

4 a_{1} b_{1} a_{2} b_{2}

tagot más sorrendben adjuk hozzá és vonjuk ki, akkor az ugyancsak megfelelő

\begin{matrix} A B = {(a_{1} b_{1} - 2 a_{2} b_{2})}^{2} + 2 {(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})}^{2} \end{matrix}

felbontást kapjuk.
2. Az azonosság hátterére a komplex számok felhasználásával világíthatunk rá. Az

\begin{matrix} A = (a_{1} + i \sqrt[]{2} a_{2}) (a_{1} - i \sqrt[]{2} a_{2}) \end{matrix}

és a

\begin{matrix} B = (b_{1} + i \sqrt[]{2} b_{2}) (b_{1} - i \sqrt[]{2} b_{2}) \end{matrix}

felbontásból a szorzatban a tényezőket felcserélve

\begin{matrix} A B = [(a_{1} + i \sqrt[]{2} a_{2}) (b_{1} + i \sqrt[]{2} b_{2}) (a_{1} - i \sqrt[]{2} a_{2}) (b_{1} - i \sqrt[]{2} b_{2}) . \end{matrix}

Az első tényező

(a_{1} b_{1} - 2 a_{2} b_{2}) + i \sqrt[]{2} (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})

, a második pedig ennek konjugáltja,

(a_{1} b_{1} - 2 a_{2} b_{2}) - i \sqrt[]{2} (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})

. A kettő szorzata tehát

\begin{matrix} {(a_{1} b_{1} - 2 a_{2} b_{2})}^{2} + 2 {(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})}^{2} . \end{matrix}

3. A talált azonosság nem csak az

x^{2} + 2 y^{2}

alakú számok szorzatára igaz, hanem tetszőleges

d

valós számmal az

x^{2} + d y^{2}

alakú számokra is. Ennek következménye, hogy egész

d

-re az

x^{2} + d y^{2}

természetes számok szorzata is ilyen alakú.
Egy másik típusú általánosítása pedig az ún. Lagrange-féle azonosság:

\begin{matrix} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}) (y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + y_{4}^{2}) & = {(x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3} + x_{4} y_{4})}^{2} \\ + {(x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{3} y_{4} - x_{4} y_{3})}^{2} + \\ + {(x_{1} y_{3} - x_{3} y_{1} + x_{4} y_{2} - x_{2} y_{4})}^{2} + \\ + {(x_{1} y_{4} - x_{4} y_{1} + x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2})}^{2} . \end{matrix}

Az azonosság szerint négy négyzetszám összegeként előálló számok szorzata is ilyen alakú. A bizonyítás közvetlen számolással történhet, háttérben azonban a kvaterniók szerkezeti tulajdonságai állnak. A kvaterniókról olvashatunk lapunk 1986/8‐9. számában. A Lagrange azonosság kulcsszerepet játszik annak a nevezetes tételnek a bizonyításában, mely szerint minden természetes szám felírható négy négyzetszám összegeként. Az azonosság miatt ugyanis elegendő ezt a tételt csupán prímekre igazolni.