A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az adott háromszög csúcsait jelöljük , , -vel, szögeit , , -val, a szerkesztendő pontot -vel, -nek a háromszög oldalegyenesein lévő merőleges vetületeit pedig , , -gyel. A háromszög oldalegyenesei a síkot hét részre osztják. Számozzuk meg ezeket az 1. ábrán látható módon. Háromféle esetet kell megkülönböztetnünk attól függően, hogy -t melyik síkrészben helyezkedik el.
1. ábra
I. eset: az 1. síkrészben ‐ a háromszög belsejében ‐ van. Ekkor az , és négyszögekben két-két egymással szemközti derékszög található (2. ábra), tehát , és .
2. ábra Ezt felhasználva a szerkesztést a következő módon végezhetjük el: Felveszünk egy tetszőleges szabályos háromszöget. Megszerkesztjük az szakasz szögű és a szakasz szögű látóköríveit. Ezeknek az háromszög belsejében lévő metszéspontját jelöljük -vel. A , , szakaszokra a -től különböző végpontjukban merőlegeseket állítunk. Ezek metszéspontjait jelöljük , , -vel. Ekkor , és ugyanígy , . Tehát az háromszög hasonló az háromszöghöz. Az háromszöget (és vele együtt a pontot és az háromszöget is) megfelelően nagyítva az háromszöggel egybevágó háromszöget kapunk, és ebből a háromszögből már csak át kell másolni a pont képét az eredeti háromszögbe. Az így szerkesztett pont nyilván eleget tesz a feltételeknek.
3. ábra
II. eset: a 2., 3. vagy a 4. síkrészben van. A szerkesztés lényegében megegyezik az első esetben leírtakkal, csak a , , szögek közül kettő megegyezik az háromszög egy-egy szögével, míg a harmadik az háromszög egyik szögét -ra egészíti ki (pl. a 3. ábrán , hiszen húrnégyszög, valamint , , mivel ezek a szögek a , illetve a húrnégyszögekben azonos ívhez tartozó kerületi szögek). Ezeknek a szögeknek az ismeretében egy tetszőleges szabályos háromszögből kiindulva a szerkesztendőhöz hasonló ábrát tudunk készíteni, s ezt megfelelően nagyítva meg tudjuk szerkeszteni a pontot. III. eset: az 5., 6. vagy a 7. síkrészben van. Ekkor is az előzőekben leírtak szerint járunk el, most a , , szögek közül kettő ismét megegyezik az háromszög egy-egy szögével, egy pedig -ra egészíti ki az háromszög harmadik szögét. (A 4. ábrán pl. , és .)
4. ábra Az I. esetben akkor kapunk megoldást, ha a , és szögű látókörívek az háromszög belsejében metszik egymást. Mivel az , háromszög minden szöge -os, ezért ez pontosan akkor teljesül, ha , és , vagyis ha az eredeti háromszög minden szöge kisebb -nál. A II. esetben akkor kapunk megoldást (3. ábra), ha a szög -nál kisebb. Ha ugyanis a szög , akkor a szerkesztés során az háromszög csúcsai egybeesnek (5. ábra), ha pedig -nál nagyobb, akkor a pont az háromszög oldalegyenesei által meghatározott síkrészek közül nem a 2.-ba, hanem az azzal ,,szemben lévő'' 5.-be esik (6. ábra).Tehát a 2., 3. és 4. síkrészben akkor kapunk megoldást, ha rendre , , illetve . Ugyanígy látható be, hogy az 5., 6., illetve 7. részben pedig akkor van megoldás, ha , , illetve .
6. ábra Összefoglalva : ha az háromszögnek nincs -os szöge, akkor a 2.‐5., 3.‐6. és 4.‐7. síkrészpárok mindegyikében 1-1 megoldás van. Ha minden szög -nál kisebb, akkor az 1. síkrészben is van megoldás, ekkor tehát összesen négy megoldás van, ha viszont létezik -nál nagyobb szög, akkor csak három. Ha az háromszögnek egyetlen -os szöge van, akkor az egyik síkrészpárban nincs megoldás, az 1. síkrészben viszont igen, így a megoldások száma ekkor is három. Ha az háromszög szabályos, akkor csak az 1. síkrészben van egyetlen megoldás. Kőszegi Botond (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)
dolgozata alapján
|