Feladat: Gy.2547 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1990/december, 452 - 453. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/március: Gy.2547

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a négyszög adott csúcsait A,B,C-vel, a negyedik csúcsát D-vel. Válasszuk úgy a jelölést, hogy AB≧BC teljesüljön.

 
 
1. ábra
 

Mivel a négyszög húrnégyszög, ezért a D pont rajta van az A,B,C pontok által meghatározott körön. Az érintőnégyszög tulajdonságból pedig az következik, hogyAB+CD=BC+AD, azaz rendezve AB-BC=AD-CD=d. Mérjük fel A-ból az AD szakaszra a d távolságot. Jelöljük a kapott szakasz végpontját K-val. Ekkor a CKD háromszög egyenlő szárú, és a D csúcsnál lévő szöge ismert, hiszen az az ABC∢=β-t 180∘-ra egészíti ki. Így DKC∢==180∘-(180∘-β)2=β2, vagyis AKC∢=180∘-β2; tehát az AKC háromszögben ismerünk két oldalt és egy szöget.
Ezek alapján a négyszög szerkesztése a következő: az A,B,C pontok köré kört szerkesztünk, majd az AC oldal fölé 180∘-β2 látószögű kört. Ezt A-ból d=AB-BC távolsággal elmetszve kapjuk a K pontot. Végül az AK egyenes kimetszi a körből D-t.
Az így szerkesztett négyszög nyilván húrnégyszög, és egyben érintőnégyszög is. Mivel CKD∢=180∘-AKC∢=β2, KDC∢=180∘-β, tehát KDC egyenlő szárú háromszög, CD=KD, vagyis AB+CD=(BC+d)+CD==BC+(d+KD)=BC+AD.
Ha az A,B,C pontok egy egyenesbe esnek, akkor a feladatnak nincs megoldása. Ha A,B,C nem esik egy egyenesbe, akkor mindig 3 megoldás van; a megoldás során ugyanis feltételeztük, hogy a négyszög csúcsainak sorrendje A,B,C,D, azaz D a B-t nem tartalmazó AC köríven van. Ha viszont csak 3 pont van adva, akkor az általuk meghatározott 3 körív bármelyikére kerülhet D (2. ábra). Ha d=0 (valamelyik esetben), akkor a húrnégyszög deltoid, és D-t a B-ből AC-re állított merőleges metszi ki a körből.
 
 
2. ábra