A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a négyszög adott csúcsait -vel, a negyedik csúcsát -vel. Válasszuk úgy a jelölést, hogy teljesüljön.
1. ábra Mivel a négyszög húrnégyszög, ezért a pont rajta van az pontok által meghatározott körön. Az érintőnégyszög tulajdonságból pedig az következik, hogy, azaz rendezve . Mérjük fel -ból az szakaszra a távolságot. Jelöljük a kapott szakasz végpontját -val. Ekkor a háromszög egyenlő szárú, és a csúcsnál lévő szöge ismert, hiszen az az -t -ra egészíti ki. Így , vagyis ; tehát az háromszögben ismerünk két oldalt és egy szöget. Ezek alapján a négyszög szerkesztése a következő: az pontok köré kört szerkesztünk, majd az oldal fölé látószögű kört. Ezt -ból távolsággal elmetszve kapjuk a pontot. Végül az egyenes kimetszi a körből -t. Az így szerkesztett négyszög nyilván húrnégyszög, és egyben érintőnégyszög is. Mivel , , tehát egyenlő szárú háromszög, , vagyis . Ha az pontok egy egyenesbe esnek, akkor a feladatnak nincs megoldása. Ha nem esik egy egyenesbe, akkor mindig megoldás van; a megoldás során ugyanis feltételeztük, hogy a négyszög csúcsainak sorrendje , azaz a -t nem tartalmazó köríven van. Ha viszont csak 3 pont van adva, akkor az általuk meghatározott 3 körív bármelyikére kerülhet (2. ábra). Ha (valamelyik esetben), akkor a húrnégyszög deltoid, és -t a -ből -re állított merőleges metszi ki a körből.
2. ábra |