Kezdőlap


Feladat:	Gy.2542	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Koncz L. , Stőhr L. , Szántó J.
Füzet:	1989/november, 395. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/március: Gy.2542

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $A_{n}$ az $n$ -jegyű, csupa $9$ -esből álló számot.
Ekkor $A_{n} = 10^{n} - 1$ és így

\begin{matrix} A_{n}^{2} = 10^{2 n} - 2 \cdot 10^{n} + 1 = 10^{n} (10^{n} - 2) + 1. \end{matrix}

10^{n} - 2

utolsó jegye

8

, a további

(n - 1)

számjegye pedig

9

. Ha ezt a számot

10^{n}

-nel szorozzuk, akkor a jegyek összege nem változik, és mivel az így kapott szám nullára végződik,

1

-et hozzáadva

1

-gyel nő a jegyösszeg.

A_{n}^{2}

jegyeinek összege tehát

(n - 1) \cdot 9 + 8 + 1 = 9 n

. Esetünkben

n = 221

, így

A^{2}

számjegyeinek összege

9 \cdot 221 = 1989

Megjegyzések. 1. Lényegében a fenti megoldásból is kiderül, hogy

\begin{matrix} A_{n}^{2} = {\underset{︸}{9 9 ... 9}}_{n - 1}^{} 8 {\underset{︸}{0 0 ... 0}}_{n - 1}^{} 1. \end{matrix}

2. Koncz Levente (Bp. Árpád Gimn. II. o.) dolgozatában megmutatja, hogy

n ≧ k

esetén az

A_{n} A_{k}

szorzat számjegyeinek összege is

9 n