Kezdőlap


Feladat:	Gy.2541	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Judit
Füzet:	1989/október, 310. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkra vonatkozó tükrözés, Egyenes körkúpok, Szabályos tetraéder, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/február: Gy.2541

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $F$ a $C D$ szakasz felezőpontja. Ekkor az $A B F$ sík szimmetriasíkja a kúpnak is, és a $C D$ szakasznak is. Ezért, ha a $C D$ szakasz a $P$ pontban érinti a kúpot, akkor a $P$ -nek az $A B F$ síkra való tükörképében is érinti azt. Viszont a $C D$ szakasznak a kúppal pontosan egy közös pontja van, tehát $P$ megegyezik tükörképével, ilyen pont pedig a $C D$ szakaszon csak egy van, $F$ ; így $P \equiv F$ (1. ábra).

1. ábra

2. ábra

A kúp félnyílásszöge megegyezik egy alkotónak a tengellyel bezárt szögével, tehát pl. az

F A B

szöggel. Az

F A B

háromszög (2. ábra) egyik oldala éppen az

A B C D

tetraéder éle, másik két oldalának hossza pedig a tetraéder egy-egy lapjának magassága. Ezért, ha a félnyílásszög

α

akkor:

\begin{matrix} cos α = \frac{\frac{a}{2}}{a \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2}} = \frac{\sqrt[]{3}}{3}, ebből 2 α = 109, 5^{\circ} . \end{matrix}

Nagy Judit (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)
dolgozata alapján