Kezdőlap


Feladat:	Gy.2540	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Eötvös Levente
Füzet:	1990/január, 17 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/február: Gy.2540

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szerkesztést egy speciális egyenlő szárú háromszög tulajdonságait felhasználva fogjuk elvégezni. Legyen $A C D$ egy olyan háromszög, amelyben $A C = C D = 2 A D$ . Jelöljük az $A C$ szár felezőpontját $B$ -vel, $A B$ felezőpontját pedig $F$ -fel (1. ábra).

1. ábra

Ekkor

A B = A D

, továbbá az

A F D

háromszög hasonló az

A D C

háromszöghöz, mivel

\frac{A F}{A D} = \frac{A D}{A C} = \frac{1}{2}

, és a két háromszögnek az

A

-nál levő szöge közös. Tehát

A D = F D

. Ezt felhasználva a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el:
A megadott

A B

szakasszal mint sugárral

B

körül kört rajzolunk. A kör kerületére

A

-ból kiindulva háromszor egymás után felmérjük az

A B

távolságot, így kapjuk a

C

pontot (2. ábra), ami éppen

A

-nak

B

-re vonatkozó tükörképe.

2. ábra

C

középpontú,

C A

sugarú, és az

A

középpontú,

A B

sugarú körök két metszéspontja legyen

D

és

D'

. Ekkor

A C D

és

A C D'

az 1. ábrán szereplőhöz hasonló egyenlő szárú háromszögek. Végül a

D

, illetve

D'

középpontú,

D A = D' A

sugarú körök

A

-tól különböző

F

metszéspontja a fentiek alapján éppen az

A B

szakasz felezőpontja.

3. ábra

II. megoldás. Az

A

és

B

körüli,

A B = 1

sugarú körök metszéspontjai a 3. ábrán

C_{1}

és

C_{2}

, röviden:

A (1) \cap B (1) = C_{1}

C_{2}

, ekkor

C_{1} C_{2} = \sqrt[]{3}

. Továbbá

B (1) \cap C (\sqrt[]{3}) = A'

, és

A A' = 2

. Most

A

B

, majd

D

körül 2 sugárral írunk kört, a metszéspontok

D

G_{1}

G_{2}

, így

A D G_{1}

és

B D G_{2}

szabályos háromszögek,

A D

, ill.

B D

oldaluk

H_{1}

H_{2}

felezőpontját a

G_{1}

körüli,

\sqrt[]{3}

sugarú kör metszi ki az első két körből

(i = 1,2)

, ekkor

H_{1} H_{2}

A B D

háromszög középvonala. Végül

H_{1} (1) \cap H_{2} (1) = F

. (10 kört rajzoltunk.)

Eötvös Levente (Debrecen, Fazekas M. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Néhány dolgozat körök érintkezési pontját kívánta felhasználni. Ez nem eukleidészi szerkesztés, két megrajzolt körrel csak két különböző metszéspontjukat tekintjük meghatározottnak , ha ilyen helyzetűek. Mégis bemutatjuk, mert egyébként helyesen, ezek is "hálózatot szőttek'' a felezőpont céljára. Ilyenben ki lehet számítani az adódó metszéspontok közti távolságokat, illetve a pontok koordinátáit. A 4. ábrán

C_{1} C_{2} D

és

E_{1} E_{2} P

szabályos háromszögek, oldalhosszuk 2, ill. 1.

4. ábra

Ezeket tudva az

E_{1}

érintkezési pontot meg lehet szerkeszteni kizárólag körzővel mint a már ismert

D

és

C_{1}

pontok által meghatározott egyenesnek az egyik körrel való metszéspontját ‐ de csak több lépésben.

2. Számítás pótolta az egyenes vonalzó mellőzését szeptemberi számunk cikkében.

Megjegyzés. Be lehet bizonyítani, hogy minden olyan euklideszi értelemben vett szerkesztés, ami körzővel és vonalzóval elvégezhető, elvégezhető csupán körző használatával is. Ezt az érdekes tételt egymástól függetlenül G. Mohr dán és L. Mascheroni olasz matematikus fedezte fel.