Kezdőlap


Feladat:	Gy.2534	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kirschner R. , Matolcsi Máté , Pócs M.
Füzet:	1990/március, 110 - 111. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/február: Gy.2534

A tízes számrendszerben felírt

(n + 1)

-jegyű

A = \bar{a_{n} a_{n - 1} ... a_{1} a_{0}}

szám fordítottjának az

A^{*} = \bar{a_{0} a_{1} ... a_{n}}

számot nevezzük. (A 759 fordítottja tehát 957, a 980 fordítottja pedig 89.)
Keressük meg azokat a négyjegyű számokat, amelyek "megfordulnak,'' ha 9-cel szorozzuk őket, tehát amelyekre

9 A = A^{*}

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván $1000 \leq A \leq 1111$ , hiszen $A^{*}$ legfeljebb négyjegyű, és ha $A > 1111$ , akkor $9 A$ már ötjegyű. Ezért

\begin{matrix} 9000 \leq 9 A \leq 9999, \end{matrix}

így

A^{*}

pontosan négyjegyű, első jegye 9, tehát

A

utolsó jegye 9. Az

A^{*}

osztható 9-cel, így

A

is, jegyeinek összege tehát osztható 9-cel. Ez azt jelenti, hogy

A

első három jegyének összege is osztható 9-cel. Mivel

A

első jegye 1, második jegye pedig 0 vagy 1, így harmadik jegye 8 vagy 7. Az utóbbi esetben azonban

A = 1179

lenne, ami túl nagy; az egyetlen lehetőség tehát

A = 1089

, erre pedig valóban teljesül a feltétel, hiszen

9 \cdot 1089 = 9801

.
A feladatnak tehát egyetlen megoldása van, az 1089.

Matolcsi Máté (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés.

A

négyzetszám, így

A^{*}

is az.