Feladat: Gy.2534 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kirschner R. ,  Matolcsi Máté ,  Pócs M. 
Füzet: 1990/március, 110 - 111. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/február: Gy.2534

A tízes számrendszerben felírt (n+1)-jegyű A=anan-1...a1a0¯ szám fordítottjának az A*=a0a1...an¯ számot nevezzük. (A 759 fordítottja tehát 957, a 980 fordítottja pedig 89.)
Keressük meg azokat a négyjegyű számokat, amelyek "megfordulnak,'' ha 9-cel szorozzuk őket, tehát amelyekre 9A=A*.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván 1000A1111, hiszen A* legfeljebb négyjegyű, és ha A>1111, akkor 9A már ötjegyű. Ezért

90009A9999,
így A* pontosan négyjegyű, első jegye 9, tehát A utolsó jegye 9. Az A* osztható 9-cel, így A is, jegyeinek összege tehát osztható 9-cel. Ez azt jelenti, hogy A első három jegyének összege is osztható 9-cel. Mivel A első jegye 1, második jegye pedig 0 vagy 1, így harmadik jegye 8 vagy 7. Az utóbbi esetben azonban A=1179 lenne, ami túl nagy; az egyetlen lehetőség tehát A=1089, erre pedig valóban teljesül a feltétel, hiszen 91089=9801.
A feladatnak tehát egyetlen megoldása van, az 1089.
 

Matolcsi Máté (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)
 

Megjegyzés. A négyzetszám, így A* is az.