Kezdőlap


Feladat:	Gy.2533	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/november, 392. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Kocka, Terület, felszín, Térfogat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/január: Gy.2533

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kocka bármelyik testátlójának végpontjait a kocka másik hat csúcsával egy-egy él köti össze. A testátló és az egyik végpontjából kiinduló él által meghatározott sík a kockát egy téglalapban metszi (ábra). Ezért föltehetjük, hogy a pont az ábrán látható $D$ pont, az egyenes pedig a $H B$ egyenes.

Jelöljük a kocka élhosszát

a

-val; ekkor

D B = \sqrt[]{2} \cdot a

H B = \sqrt[]{3} \cdot a

. A

B D H

derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága éppen a

D

pontnak a

H B

egyenestől való távolsága, azaz

1 cm

. A

D B H

háromszög területét kétféleképpen felírva:

\begin{matrix} \frac{B H \cdot 1}{2} = \frac{D B \cdot D H}{2}, azaz \frac{\sqrt[]{3} a \cdot 1}{2} = \frac{\sqrt[]{2} a \cdot a}{2} . \end{matrix}

Ebből:

a = \frac{\sqrt[]{6}}{2}

cm, tehát a kocka térfogata

a^{3} = \frac{3 \sqrt[]{6}}{4} {cm}^{3} (\approx 1, 84 {cm}^{3})