Feladat: Gy.2530 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1989/november, 389 - 390. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Súlyvonal, Háromszög nevezetes körei, Súlypont, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/január: Gy.2530

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a háromszög súlypontját S-sel, az AC szár felezőpontját F-fel, az adott szöget pedig φ-vel. Tudjuk, hogy a háromszög súlypontja harmadolja a súlyvonalakat, tehát SF=13BF, és SC=SB=23BF. Ezért az SFC háromszögben ismerünk két oldalt, továbbá a nagyobbikkal szemközti szöget, ami φ, vagy 180∘-φ attól függően, hogy F-ből a BC oldal hegyes- vagy tompaszögben látszik (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Ezek alapján az SFC háromszög az ismert módon megszerkeszthető. SFC megszerkesztése után C-nek F-re való tükörképe adja az A pontot, az FS félegyenesre pedig F-ből 3FS távolságot felmérve kapjuk a B pontot. Az így kapott ABC háromszög eleget tesz a feltételeknek, mert AC oldalának felezőpontja F, BF tehát súlyvonal; amely AC-vel φ szöget zár be (e két egyenes hajlásszöge definíció szerint nem nagyobb 90∘-nál!), továbbá S a háromszög súlypontja, mert harmadolja az egyik súlyvonalat, s ezért SB=SC(=2SF)-ből következik, hogy a háromszög egyenlő szárú, azaz AB=AC. A feladatnak egy megoldása van, ha φ=90∘, két megoldása, ha φ≠90∘ (1. ábra).
 

II. megoldás. Használjuk az előző megoldás jelöléseit. Mivel F felezőpont, ezért AB:AF=2:1, tehát az A pont rajta van a BF szakasz 2:1 arányhoz tartozó Apollóniusz-körén. Ezt felhasználva a szerkesztés könnyen elvégezhető:
A BF szakasznak megszerkesztjük a 2:1 arányhoz tartozó Apollóniusz-körét. Ezután az F ponton át BF-fel φ szöget bezáró egyenest szerkesztünk, ennek és a körnek a metszéspontja A, A-nak F-re vonatkozó tükörképe pedig C (2. ábra). Az így szerkesztett háromszög nyilván eleget tesz a feltételeknek.
 
 
2. ábra
 

Ha φ=90∘, akkor két egybevágó megoldást kapunk, ha pedig φ≠90∘, akkor (helyzet szerint) 4 háromszög adódik ‐ hiszen ekkor F-en át két különböző egyenest rajzolhatunk ‐ de e háromszögek közül 2-2 egybevágó.