Kezdőlap


Feladat:	Gy.2526	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katz Sándor , Stőhr Lóránt , Wiener Gábor
Füzet:	1989/november, 387. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenség-rendszerek, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/január: Gy.2526

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $k ≧ 0$ egész, akkor a legkisebb és a legnagyobb $(k + 4)$ -jegyű, $1989$ -cel kezdődő egész szám az $1989 \cdot 10^{k}$ , illetve $1990 \cdot 10^{k} - 1$ . Azt a legkisebb pozitív egész $A$ számot kell megkeresnünk, amelyre létezik olyan $k ≧ 0$ , hogy

\begin{matrix} 1989 \cdot 10^{k} ≦ A^{2} < 1990 \cdot 10^{k}, \end{matrix}

vagy másképpen, azt a nemnegatív egész

k

-t, amelyre a

\begin{matrix} [\sqrt[]{1989} \cdot {(\sqrt[]{10})}^{k}; \sqrt[]{1990} \cdot {(\sqrt[]{10})}^{k}) \end{matrix}

balról zárt, jobbról nyílt intervallum tartalmaz egész

(A)

számot.
Az alábbi egyenlőtlenségekből következik, hogy erre először a

k = 2

esetben kerül sor.

\begin{matrix} k & = 0 : 44 < \sqrt[]{1989} < \sqrt[]{1990} < 45; \\ k & = 1 : 141 < \sqrt[]{1989} \cdot \sqrt[]{10} < \sqrt[]{1990} \sqrt[]{10} < 142; \\ k & = 2 : 445 < 10 \sqrt[]{1989} < 446 < 10 \sqrt[]{1990} . \end{matrix}

A keresett szám tehát a

446

; ennek négyzete

198 916

Megjegyzés. Két tanuló, Stöhr Lóránt és Wiener Gábor vizsgálták a feladat megoldását más alapú számrendszerben is, és azt találták, hogy a

28

-as alapú számrendszerben

1989

maga négyzetszám, és így a legkisebb megoldásként

\begin{matrix} 63_{28}^{2} = 1989_{28} \end{matrix}

alapján

63_{28}

-at kaptak.

Katz Sándor (Bonyhád, III. sz. Ált. Isk., 8. o. t.)
dolgozata alapján