Kezdőlap


Feladat:	Gy.2525	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fedorcsák Péter
Füzet:	1989/május, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkra vonatkozó tükrözés, Téglatest, Térfogat, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/december: Gy.2525

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsünk egy olyan síkot, amely áthalad a $P$ ponton és merőleges a téglatest két szomszédos lapjára. E sík $4$ tükörpontot tartalmaz. Az 1. ábrán egy ilyen síknak és a téglatestnek a közös része (egy téglalap), és két tükörpont látható.

1. ábra

A tükrözés miatt a téglalap oldalai a

P' P P''

derékszögű háromszög befogóinak a felező merőlegesei, metszéspontjuk ezért éppen

P' P''

felezőpontja. Ez azt jelenti, hogy a tükörpontok által meghatározott oktaéder minden éle metszi a téglatest egy élét, így az oktaéder lapjai a téglatest minden sarkából egy-egy tetraédert metszenek le (2. ábra).

2. ábra

A közös rész térfogata a téglatest és a nyolc levágott rész térfogatának a különbsége. Ha a téglatest éleit

a, b, c

-vel, az egyik csúcsnál levágott tetraéder három egymásra merőleges éleit pedig

x

y

z

-vel jelöljük (2. ábra), akkor a keresett térfogat:

\begin{matrix} V = a b c - \frac{1}{6} {[x y z + (b - y) x z] + [y (a - x) z + (b - y) (a - x) z] + \\ + [y x (c - z) + (b - y) x (c - z)] + [y (a - x) (c - z) + (b - y) (a - x) (c - z)]} = \\ = a b c - \frac{1}{6} {[b x z + b (a - x) z] + [b x (c - z) + b (a - x) c - z)]} = \\ = a b c - \frac{1}{6} a b c = \frac{5}{6} a b c . \end{matrix}

Tehát a közös rész térfogata a

P

pont helyzetétől független, mindig a téglatest térfogatának

5 / 6

része.

Fedorcsák Péter (Miskolc, Földes Ferenc Gimn. II. o.)