Feladat: Gy.2520 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1989/szeptember, 261. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Négyzetrács geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/december: Gy.2520

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Képzeljük a négyzetrácsot végtelen sakktáblának, és helyezzünk el rajta 8 db 1×1-es dominót az ábrán látható módon. Megmutatjuk, hogy ekkor a megmaradó részt nem lehet 1×2-es dominókkal lefedni.

 
 

Tegyük fel, hogy mégis sikerült a lefedés, és nevezzük jónak azokat az 1×2-es dominókat, amelyek a bekeretezett téglalap belsejében helyezkednek el.
Vegyük észre, hogy a téglalap fehér mezőit csak ilyen jó dominók fedhetik le, és mivel minden dominó egy fehér és egy fekete mezőt takar, a jó dominók száma szükségképpen 7. Ez viszont lehetetlen, mivel a téglalap 13=6⋅2+1 szabad mezőjén legfeljebb 6 dominó fér el.
 

Megjegyzés. Több dolgozat szerint elég annyit biztosítani, hogy a végtelen sakktáblán úgy helyezzük el a véges sok 1×1-es dominót, hogy több essék pl. fekete mezőre, mint fehérre. Ekkor ugyanis ‐ mint írták ‐ kevesebb fekete mező marad fedetlen, mint fehér, és így nem lehetséges a lefedés. Ez, és minden ehhez hasonló okoskodás hibás. Először is, akárhogy helyezünk el a síkon véges sok 1×1-es dominót, a maradék fehér és fekete mezők továbbra is párba állíthatók, tehát ,,ugyanannyian'' vannak. Másrészt könnyen meggyőződhetünk arról, hogy tetszőleges számú fekete mezőt lefedhetünk ‐ például mindegyiket egyetlen sorból ‐ úgy, hogy a fedetlen rész továbbra is lefedhető legyen 1×2-es dominókkal.