Kezdőlap


Feladat:	Gy.2518	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bilics Péter
Füzet:	1989/május, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/december: Gy.2518

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet bal oldala szorzattá alakítható:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 2 x y - 1988 x - 1988 y = {(x + y)}^{2} - 1988 (x + y) = \\ = (x + y) (x + y - 1988) . \end{matrix}

Mivel

x + y > 0,

ezért

x + y - 1988

is pozitív, azaz

x + y ≧ 1989

. Az

x + y

összeg azonban nem lehet

1989

-nél nagyobb, hiszen osztója

1989

-nek. Így csupán

x + y = 1989

lehetséges, és akkor valóban

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 2 x y - 1988 x - 1988 y = 1989 (1989 - 1988) = 1989. \end{matrix}

A pozitív egész számok körében tehát az egyenletnek megoldásai éppen az

(1,1988)

(2,1987)

...

(1987,2)

(1988,1)

számpárok, ezek száma pedig

1988

Bilics Péter (Bp., Fazekas M. Gimn. II. o. t.)
dolgozata alapján