|
Feladat: |
Gy.2517 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ágoston N. , Álmos Á. , Bánfalvi K. , Berke Mónika , Boncz A. , Dorogi P. , Erben P. , Fügedi Zs. , Hajnal Veronika , Hegedűs L. , Horváth J. (Jászberény) , Imreh Cs. , Jurányi Zs. , Káli Sz. , Kiss 128 I. , Kiss 623 Gy. , Kovács F. , Magó K. , Maróti M. , Miklós Gy. , Molnár Sáska G. , Monori A. , Nagy 999 Judit , Németh S. , Pataki A. , Risbjerg Anna , Skopál Judit , Soltész Andrea , Szalkai Á. , Szőllőssy G. , Török F. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Virág B. , Zsák A. |
Füzet: |
1989/szeptember,
258 - 261. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Középpontos tükrözés, Tengely körüli forgatás, Paralelepipedon, Térfogat, Szabályos tetraéder, Vektorok lineáris kombinációi, Vektorok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1988/november: Gy.2517 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A feladatot a tetraéderekhez tartozó bennfoglaló paralelepipedonok segítségével oldjuk meg. Ismert (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I., 2069., 2074. és 2083. feladatait), hogy minden tetraédernek létezik bennfoglaló paralelepipedonja, amelynek a térfogata éppen a tetraéder térfogatának a háromszorosa. Tudjuk továbbá azt is, hogy az egységnyi élű szabályos tetraéder bennfoglaló paralelepipedonja az élhosszúságú kocka. Elegendő az tetraéder bennfoglaló paralelepipedonját meghatároznunk.
1. ábra A tükrözések miatt az 1. ábrán látható és háromszögekben megegyezik két-két oldal és az azok által bezárt szög, tehát ezek a háromszögek egybevágók. Ez viszont azt jelenti, hogy a bennfoglaló paralelepipedonnak négy olyan oldallapja van, amelyek egyenlő hosszúságú átlókkal rendelkező paralelogrammák, azaz téglalapok. Megmutatjuk, hogy a paralelepipedon másik két lapja pedig négyzet. Ehhez elegendő belátnunk, hogy és egyenlő hosszú, egymásra merőleges szakaszok. Tekintsük azt az egybevágósági transzformációt, amely az kockának a középpontjára való tükrözéséből, majd pedig az és szakaszok felezőpontját összekötő egyenes körüli -os forgatásból áll. Vizsgáljuk meg, hogy mi lesz az egyes pontok képe:
Ezért képe képének képére vonatkozó tükörképe, azaz -nek -ra való tükörképe, tehát . Ugyanígy kapjuk, hogy képe . Tehát egyenlő hosszú -vel, a szögük pedig , mert a tükrözés nem változtatja meg a szöget, az elforgatás pedig éppen -os volt.
2. ábra
Tehát bennfoglaló paralelepipedonja négyzet alapú egyenes hasáb. Vetítsünk merőlegesen ennek a hasábnak az alaplapjára; a pont képét jelölje (2. ábra). A tükrözések miatt az ábrán egyformán jelölt szakaszok egyenlő hosszúak, tehát a hasáb alapjának az éle az kocka élének a -szöröse. Hasonlóan vetítsünk merőlegesen az tetraéder bennfoglaló hasábjának egyik oldallapjára (3. ábra).
3. ábra Az egyformán jelölt szakaszok ezúttal is a tükrözések miatt egyenlőek. Származtatásukból következően az egyenesek párhuzamosak a kocka , lapjaival, amelyek ezért párhuzamosak a hasáb alapjával. Így a 3. ábrán az és a egyenesek távolsága megegyezik a kocka élhosszúságával, ennek tehát a hasáb magasága éppen a 3-szorosa. Ezek szerint a hasáb térfogata a kocka térfogatának -szöröse, tehát térfogata is 15-szöröse térfogatának.
II. megoldás. A vektorok vegyesszorzatának ismeretében rövidebben is megoldható a feladat. Legyen . Ekkor és . Ezért és ugyanígy (4. ábra).
4. ábra Ekkor az tetraéder térfogata: Az tetraéder térfogata pedig:
térfogata az térfogatának 15-szöröse. Megjegyzések. 1. A második megoldás során nem használtuk ki az tetraéder szabályosságát, tehát tetszőleges tetraéderre igaz, hogy ha csúcsait a feladatban leírt módon tükrözzük, akkor a tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata az eredeti tetraéder térfogatának 15-szöröse. 2. A hibás dolgozatok -a abból a helytelen feltevésből keletkezett, hogy az tetraéder szabályos. Nem szabad mindig biztosra venni a szimmetria öröklődését. |
|